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(2008•荆州)如图,等腰直角三角形纸片ABC中,AC=BC=4,∠ACB=90°,直角边AC在x轴上,B点在第二象限,A(1,0),AB交y轴于E,将纸片过E点折叠使BE与EA所在直线重合,得到折痕EF(F在x轴上),再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE,然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA平移,至B点到达A点停止.设平移时间为t(s),移动速度为每秒1个单位长度,平移中四边形BCFE与△AEF重叠的面积为S.
(1)求折痕EF的长;
(2)是否存在某一时刻t使平移中直角顶点C经过抛物线y=x2+4x+3的顶点?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由;
(3)直接写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围.

【答案】分析:(1)因为折叠后BE与EA所在直线重合推出EF=EA,OA=OE=1,可求出AE,EF的值.
(2)设CP∥BA交Y轴于P,推出△POC为等腰直角三角形,求出点C移动的水平距离后可求出时间.
(3)本题考查的是分段函数的知识.
解答:解:(1)∵折叠后BE与EA所在直线重合
∴FE⊥EA又Rt△ABC中AC=BC
∴∠CAB=45°
∴EF=EA
∵A(1,0)
∴OA=OE=1,AE=
∴折痕EF=

(2)存在,设CP∥BA交Y轴于P,
则△POC为等腰直角三角形,直角顶点C在射线CP上移动
∵AC=4,OA=1
∴OC=OP=3
∴C(-3,0),P(0,-3)可求得PC所在直线解析式为:y=-x-3
∵直角顶点C从(-3,0)位置移动到(-2,-1)时,水平移动距离为|-2-(-3)|=1(长度单位)
∴直角顶点C从开始到经过此抛物线顶点移动的时间t==
(3)当0≤t≤时,
四边形BCFE与△AEF重叠的面积为:直角梯形EFQE 1
故面积为:S=(EF+E1Q)×EE1=t(-t+)=-t2+t,
同理可得出其它函数解析式:
s=
点评:本题综合考查的是分段函数的知识,二次函数的综合运用以及三角函数的应用.难度较大.
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(1)求折痕EF的长;
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