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    先自学下列材料，再解题．在不等式的研究中，有以下两个重要基本不等式：
    若a≥0，b≥0，则 …①
    若a≥0，b≥0，c≥0，则…②
    不等式①、②反映了两个（或三个）非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．这两个基本不等式在不等式证明中有着广泛的应用．现举例如下：
    若ab＞0，试证明不等式：．
    证明：∵ab＞0
    ∴
    即．
    现请你利用上述不等式①、②证明下列不等式：
    （1）当ab≥0时，试证明：．
    （2）当a、b为任意实数时，试证明：．
    【答案】分析：（1）根据已知得出=×=×[（a+b）2+ab+ab]即可利用例题得出答案；
    （2）根据当ab≥0时与当ab＜0时，利用例题分别得出例题形式即可证明．
    解答：解：（1）∵ab≥0，
    ∴=×，
    =×[（a+b）2+ab+ab]≥=，

    （2）当ab≥0时，
    =，
    =≥，
    =≥，
    当ab＜0时，
    =，
    =≥，
    =．
    点评：此题主要考查了几何不等式的应用，根据已知将原式变形为例题形式是解题关键．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    先阅读下列材料，再解答后面的问题．
    材料：密码学是一门很神秘、很有趣的学问，在密码学中，直接可以看到的信息称为明码，加密后的信息称为密码，任何密码只要找到了明码与密码的对应关系--密钥，就可以破译它．
    密码学与数学是有关系的．为此，八年一班数学兴趣小组经过研究实验，用所学的一次函数知识制作了一种密钥的编制程序．他们首先设计了一个“字母--明码对照表”：
    字母 A B C D E F G H I J K L M
    明码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
    字母 N O P Q R S T U V W X Y Z
    明码 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 24 25 26
    例如，以y=3x+13为密钥，将“自信”二字进行加密转换后得到下表：
    汉字 自 信
    拼音 Z I X I N
    明码：x 26 9 24 9 14
    密钥：y=精英家教网
    密码：y 91 40      
    因此，“自”字加密转换后的结果是“9140”．
    问题：
    （1）请你求出当密钥为y=3x+13时，“信”字经加密转换后的结果；
    （2）为了提高密码的保密程度，需要频繁地更换密钥．若“自信”二字用新的密钥加密转换后得到下表：
    汉字 自 信
    拼音 Z I X I N
    明码：x 26 9 24 9 14
    密钥：y=精英家教网
    密码：y 70 36      
    请求出这个新的密钥，并直接写出“信”字用新的密钥加密转换后的结果．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    先阅读下列材料，再解答后面的问题．
    ∵
    1
    1×3
    =
    1
    2
    (1-
    1
    3
    )    ，
    1
    3×5
    =
    1
    2
    (
    1
    3
    -
    1
    5
    )    ，
    1
    5×7
    =
    1
    2
    (
    1
    5
    -
    1
    7
    )    ，…，
    1
    17×19
    =
    1
    2
    (
    1
    17
    -
    1
    19
    )    ，
    ∴
    1
    1×3
    +
    1
    3×5
    +
    1
    5×7
    +…+
    1
    17×19

    =
    1
    2
    (1-
    1
    3
    )+
    1
    2
    (
    1
    3
    -
    1
    5
    )+
    1
    2
    (
    1
    5
    -
    1
    7
    )+…+
    1
    2
    (
    1
    17
    -
    1
    19
    )
    =
    1
    2
    (1-
    1
    3
    +
    1
    3
    -
    1
    5
    +
    1
    5
    -
    1
    7
    +…+
    1
    17
    -
    1
    19
    )
    =
    1
    2
    (1-
    1
    19
    )=
    9
    19
    ．
    （1）在和式
    1
    1×3
    +
    1
    3×5
    +
    1
    5×7
    +    …中，第五项为
     
    ，第n项为
     
    ；
    （2）计算
    1
    (x-1)x
    +
    1
    x(x+1)
    +
    1
    (x+1)(x+2)
    +
    1
    (x+2)(x+3)
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    （2012•安庆一模）先阅读下列材料，再解答后面的问题．
    一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．
    （1）计算以下各对数的值：log24=
    2
    2
    ，log216=
    4
    4
    ，log264=
    6
    6
    ．
    （2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；
    （3）猜想一般性的结论：logaM+logaN=
    loga（MN）
    loga（MN）
    （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并根据幂的运算法则：am•an=am+n以及对数的含义证明你的猜想．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    先自学下列材料，再解题．在不等式的研究中，有以下两个重要基本不等式：
    若a≥0，b≥0，则
    a+b
    2
    ≥
    		ab
     …①
    若a≥0，b≥0，c≥0，则
    a+b+c
    3
    ≥
    3abc
    …②
    不等式①、②反映了两个（或三个）非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．这两个基本不等式在不等式证明中有着广泛的应用．现举例如下：
    若ab＞0，试证明不等式：
    (a+b)2+2ab
    3
    ≥
    3(a+b)2a2b2
    ．
    证明：∵ab＞0
    ∴
    (a+b)2+2ab
    3
    =
    (a+b)2+ab+ab
    3
    ≥
    3(a+b)2•ab•ab

    即
    (a+b)2+2ab
    3
    ≥
    3(a+b)2a2b2
    ．
    现请你利用上述不等式①、②证明下列不等式：
    （1）当ab≥0时，试证明：
    a2+b2+10ab
    12
    ≥
    3
    (a+b)2a2b2
    4
    ．
    （2）当a、b为任意实数时，试证明：
    a2+b2+ab
    3
    ≥
    3
    (a+b)2a2b2
    4
    ．

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