Question

10．已知点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），在x轴上求一点P，使得△PAB是等腰三角形．

Answer 1

分析 分三种情形讨论：①当A为顶点，②当B为顶点，③当P为顶点，共有4个点P．

解答 解：如图所示，∵AO=3，BO=4，
∴在RT△AOB中，AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5
①当B为顶点时，BA=BP₁时，P₁（-3，0）
②当点A为顶点时，∵AB=AP=5，
∴P₂（8，0），P₃（-2，0），
③当P为顶点时，作线段AB的垂直平分线交x轴于P₄，
设P₄B=P₄A=m，
在RT△BOP₄中，m²=4²+（m-3）²，解得m=$\frac{25}{6}$，
∵OP₄=AP₄-AO=$\frac{25}{6}-3$=$\frac{7}{6}$，
∴点P₄坐标（-$\frac{7}{6}$，0）．
综上所述点P的坐标为（-3，0）或（8，0）或（-2，0）或（-$\frac{7}{6}$，0）．

点评 本题考查等腰三角形的定义、勾股定理等知识，学会分类讨论是解决问题的关键．