Question

（1）解方程：2(x2+

1

x2

)-3(x+

1

x

)-1=0；
（2）如图在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．①求证：△ABC∽△FCD；②若S_△FCD=5，BC=10，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）设x+

1

x

=y，则原方程化为2y²-3y-5=0，解之得：y1=-1；y2=

5

2

．分别代入即可求解．
（2）①利用D是BC边上的中点，DE⊥BC可以得到∠EBC=∠ECB，而由AD=AC可以得到∠ADC=∠ACD，再利用相似三角形的判定，就可以证明题目结论；
②利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积，然后利用面积公式就求出了DE的长．

解答：（1）解：设x+

1

x

=y，则原方程化为2（y²-2）-3y-1=0，即：2y²-3y-5=0
解之得：y1=-1；y2=

5

2

．分别代入得：x1=2；x2=

1

2

，经检验都是原方程的根．

（2）①证明：∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，
∴BD=DC，∠EDB=∠EDC=90°，
∴△BDE≌△EDC，
∴∠B=∠DCE，
∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACB，
∴△ABC∽△FCD；
②解：过点A作AM⊥BC，垂足是M，
∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴

S△ABC

S△FCD

=4，
∵S_△FCD=5，∴S_△ABC=20，又BC=10，
∴AM=4；∵DE∥AM，∴

DE

AM

=

BD

BM

∵DM=

1

2

CD=

5

2

，BM=BD+DM，BD=

1

2

BC=5，
∴

DE

4

=

5

5+5/2

，∴DE=

8

3

．

点评：此题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，换元法解二次方程，也利用了三角形的面积公式求线段的长．