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18.经市场调查,某种商品在第x天(1≤x≤90)的售价与销量的相关信息如下表:
时间x(天) 1≤x≤60 60≤x≤90
售价(元/件)x+40100
每天销量(件)200-2x
已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y元.
(I)分别求出当1≤x<60和60≤x≤90时,该商品每天利润y与x之间的函数表达式.
(2)问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少元?
(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.

分析 (1)根据单价乘以数量,可得利润,可得答案;
(2)根据分段函数的性质,可分别得出最大值,根据有理数的比较,可得答案;
(3)根据二次函数值大于或等于4800,一次函数值大于或等于48000,可得不等式,根据解不等式组,可得答案.

解答 解:(1)当1≤x<60时,y=(200-2x)(x+40-30)=-2x2+180x+2000,
当60≤x≤90时,
y=(200-2x)(100-30)=-140x+14000;

(2)当1≤x<60时,二次函数开口向下,二次函数对称轴为x=45,
当x=45时,y最大=-2×452+180×45+2000=6050,
当60≤x≤90时,y随x的增大而减小,
当x=60时,y最大=6000,
综上所述,该商品第45天时,当天销售利润最大,最大利润是6050元;

(3)当1≤x<60时,y=-2x2+180x+2000≥4800,解得20≤x≤70,
因此利润不低于4800元的天数是20≤x<50,共30天;
当60≤x≤90时,y=-140x+14000≥4800,解得x≤80,
因此利润不低于4800元的天数是60≤x≤80,共21天,
所以该商品在销售过程中,共51天每天销售利润不低于4800元.

点评 本题考查了二次函数的应用,利用单价乘以数量求函数解析式,利用了函数的性质求最值.

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