Question

已知，如图，ABCD为直角梯形，AB⊥BC，CD=AD+BC，
求证：以CD为直径的圆与AB相切．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：过CD的中点O作OE⊥AB于E，如图，先证明OE为直角梯形ABCD的中位线，得到OE=

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（AD+BC），而CD=AD+BC，所以OE=

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CD，于是根据切线的判定定理可得以CD为直径的圆与AB相切．

解答：证明：过CD的中点O作OE⊥AB于E，如图，
∵ABCD为直角梯形，AB⊥BC，
∴OE∥AD∥BC，
而OD=OC，
∴OE为直角梯形ABCD的中位线，
∴OE=

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（AD+BC），
∵CD=AD+BC，
∴OE=

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CD，
∴AB为⊙O的切线，
∴以CD为直径的圆与AB相切．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．