Question

12．已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-x+1与直线y=kx-k+1（k≠0）交于点A，B（A在B的左边），交y轴于点C，若抛物线的对称轴交x轴于点D，交直线AB于点P．
（1）求P点坐标；
（2）如图1，连接AD、BD，求证：△ABD的内心在射线DP上；
（3）如图2，设点A（x₁，y₁）（0＜x₁＜1），求$\frac{1}{PA}$+$\frac{1}{PB}$的值．

Answer 1

分析 （1）先确定出抛物线的对称轴，即可确定出点P的坐标；
（2）先判断出AE=AP，同理BP=BF，进而判定出△AED∽△BFD即可得出结论；
（3）先求出EG=FH=OC=1，再判断出△PAG∽△PBH即可得出结论．

解答 解：（1）∵抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-x+1，
∴抛物线的对称轴为x=1，
∵抛物线的对称轴交x轴于点D，交直线AB（y=kx-k+1）于点P．
∴当x=1时，y=1，
∴P（1，1）；

（2）如图1，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足为E，F，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴y₁=$\frac{1}{2}$x₁²-x₁+1=$\frac{1}{2}$（x₁-1）²+$\frac{1}{2}$，
∴2y₁-1=（x₁-1）²，
∴AP²=（y₁-1）²+（x₁-1）²=（y₁-1）²+2y₁=y₁²，
∴AE=AP，
同理：BP=BF，
∴$\frac{AP}{BP}=\frac{ED}{FD}=\frac{AE}{BF}$，
∵∠AED=∠BFD，
∴△AED∽△BFD，
∴∠ADE=∠BDF，
∴∠ADP=∠BDP，
∴△ABD的内心在射线DP上；

（3）如图2，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足为E，F，连接CP并延长交BF于H，交EA延长线于G，
易证四边形COEG是矩形，
∵P（1，1），C（0，1），
∴OC=1，
∴EG=FH=OC=1，
易证△PAG∽△PBH，
∴$\frac{AG}{AP}=\frac{BH}{BP}$，
由（2）知，AE=AP，BP=BF，
∴$\frac{1-AP}{AP}=\frac{BP-1}{BP}$，
∴$\frac{1}{AP}+\frac{1}{BP}$=2．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，解（2）的关键是判断出AE=AP，解（3）的关键是求出EG=1，是一道中等难度的中考常考题．