Question

8．如图，在四边形ABCD中，AB=AD、CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）证明：①∠BAC=∠DAC，②∠AFD=∠CFE；
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
（3）写出当BE与CD有何位置关系时，∠BCD=∠EFD，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先判断出△ABC≌△ADC得到∠BAC=∠DAC，再判断出△ABF≌△ADF得出∠AFB=∠AFD，最后进行简单的推算即可；
（2）先由平行得到角相等，用等量代换得出∠DAC=∠ACD，最后判断出四边相等；
（3）由（2）得到判断出△BCF≌△DCF，结合BE⊥CD即可．

解答 （1）证明：在△ABC和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{CB=CD}&{\;}\\{AC=AC}&{\;}\end{array}\right.$．
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABF和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠BAF=∠DAF}&{\;}\\{AF=AF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
∴∠AFB=∠AFD，
∵∠CFE=∠AFB，
∴∠AFD=∠CFE，
∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；

（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠ACD，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=CD，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=CB=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形；

（3）解：BE⊥CD时，∠BCD=∠EFD；理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，
∵CF=CF，
∴△BCF≌△DCF，
∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠BCD=∠EFD．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，菱形的性质和判定，同角或等角的余角相等，解本题的关键是灵活运用三角形全等的判定．