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(2010•仙桃)如图,Rt△BDE中,∠BDE=90°,BC平分∠DBE交DE于点C,AC⊥CB交BE于点A,△ABC的外接圆的半径为r.
(1)若∠E=30°,求证:BC•BD=r•ED;
(2)若BD=3,DE=4,求AE的长.

【答案】分析:(1)取AB中点O,由题意得△ABC是Rt△,O是外接圆心,连接CO,可证得OC∥DB,则,即OC•DE=CE•BD;作CF⊥BE,然后证得∠CBE=∠E=30°,根据等角对等边的性质可得CE=BC,则可得BC•BD=r•ED;
(2)根据勾股定理求出BE,设CE=x,则BC=x,在Rt△BCD中,根据勾股定理求出x,再推得CE为圆的切线,利用切割线定理求出AE的值.
解答:(1)证明:取AB中点O,△ABC是Rt△,AB是斜边,O是外接圆心,连接CO,
∴BO=CO,∠BCO=∠OBC,
∵BC是∠DBE平分线,
∴∠DBC=∠CBA,
∴∠OCB=∠DBC,
∴OC∥DB,(内错角相等,两直线平行),
,把比例式化为乘积式得BD•CE=DE•OC,
∵OC=r,
∴BD•CE=DE•r.
∵∠D=90°,∠E=30°,
∴∠DBE=60°,
∴∠CBE=∠DBE=30°,
∴∠CBE=∠E,
∴CE=BC,
∴BC•BD=r•ED.

(2)解:BD=3,DE=4,根据勾股定理,BE=5,
设圆的半径长是r,则OC=OA=r,
∵OC∥DB,
∴△OCE∽BDE,
==,即==
解得:OE=r,CE=r.
CH==r,
∵BC平分∠DBE交DE于点C,则△BDC≌△BHC,
∴BH=BD=3,
则HE=2.
∴CD=CH=r.
在直角△CHE中,根据勾股定理得:CH2+EH2=CE2
即(r)2+22=(r)2,解得:r=
则AE=BE-2r=5-=
点评:本题考查的是切割线定理,切线的性质定理,勾股定理.
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