Question

如图，在△ABC中，以A为圆心，AB为半径作圆交AC于点D，连接BD，已知∠A=2∠CBD．
（1）求证：直线BC为⊙A的切线；
（2）若cos∠CBD=

3

2

，⊙A半径为10，求阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）证得AB⊥BC即可判定切线；
（2）首先根据cos∠CBD=

3

2

得到∠CBD=30°，从而得到∠A=60°，然后利用S_阴影=S_△ABC-S_扇形BAD求解．

解答：解：∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD，
∵∠ADB=∠C+∠DBC，∠A=2∠CBD，
∴在△ABC中，由三角形的内角和定理得：
2（∠C+∠DBC）+2∠CBD=180°，
∴∠C+2∠DBC=90°，
∴∠ABC=90°，
∴直线BC为⊙A的切线；

（2）∵cos∠CBD=

3

2

，
∴∠CBD=30°，
∴∠A=60°，
∵AB=10，
∴BC=10

3

，
∴S_阴影=S_△ABC-S_扇形BAD=

1

2

×10×10

3

-

60π×102

360

=50

3

-

50

3

π．

点评：本题考查了切线的判定与性质，在解决切线问题时，常常连接圆心和切点，证明垂直或利用垂直求解．