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旋转变换是世界运动变化的简捷形式之一,也是数学问题中一种重要的思想方法.解与图形的旋转相关的问题常用到全等三角形的知识,而利用旋转过程中的不变量、不变性是解决问题的关键.请你选择其中一题进行解答.
(1)如图1,已知P是等边三角形ABC内一点,PB=2,PC=1,∠BPC=150°,求PA的长;
(2)如图2,已知O是等边△ABC内的一点,∠AOB、∠BOC、∠AOC的角度之比为6:5:4.求在以OA、OB、OC为边的三角形中,此三边所对的角度之比.

解:(1)如图,连接PP′,
将△BPC绕C点顺时针旋转60°到△AP′C的位置,由旋转的性质,得CP=CP′,
∴△PP′C为等边三角形,
由旋转的性质可知∠AP′C=∠BPC=150°,
∴∠AP′P=150°-60°=90°,
又∵PP′=PC=1,AP′=BP=2,
∴在Rt△APP′中,由勾股定理,得PA==

(2)以点A为中心,将△AOB逆时针旋转60°得△AO′C,
则△AO′C≌△AOB.
∴O′C=OB.连接OO′,
知△AOO′为等边三角形.
则OO′=OA,
∴△OO′C为以OA、OB、OC为边组成的三角形,
∵∠AOB:∠BOC:∠AOC=6:5:4,∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°,
∴∠AOB=144°,∠BOC=120°,∠AOC=96°,
∵△AOO′为等边三角形,
∴∠COO′=96°-60°=36°,∠CO′O=∠CO′A-60°=∠AOB-60°=84°,
∠OCO′=180°-36°-84°=60°,
∴∠OCO′:∠COO′:∠CO′O=5:3:7.
分析:(1)根据等边三角形的性质,将△BPC绕C点顺时针旋转60°到△AP′C的位置,可证△PP′C为等边三角形,由旋转的性质可知∠AP′C=∠BPC=150°,从而可得∠AP′P=90°,PP′=PC=1,已知AP′=BP=2,在Rt△APP′中,由勾股定理可求PA;
(2)如图②,将△AOB绕A点逆时针旋转60°到△AO′C的位置,由旋转的性质可知OA=OO′,OB=CO′,故以OA、OB、OC为边组成的三角形为△OO′C,再根据已知条件求△OO′C的各内角即可.
点评:本题利用了旋转的性质解题.关键是根据AB=BC,∠ABC=60°,得出等边三角形,运用勾股定理逆定理得出直角三角形.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

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(1)如图1,已知P是等边三角形ABC内一点,PB=2,PC=1,∠BPC=150°,求PA的长;
(2)如图2,已知O是等边△ABC内的一点,∠AOB、∠BOC、∠AOC的角度之比为6:5精英家教网:4.求在以OA、OB、OC为边的三角形中,此三边所对的角度之比.

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

(2012•延庆县二模)阅读下面材料:
小伟遇到这样一个问题:如图1,在△ABC(其中∠BAC是一个可以变化的角)中,AB=2,AC=4,以BC为边在BC的下方作等边△PBC,求AP的最大值.
小伟是这样思考的:利用变换和等边三角形将边的位置重新组合.他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC,连接A′A,当点A落在A′C上时,此题可解(如图2).
请你回答:AP的最大值是
6
6

参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:
如图3,等腰Rt△ABC.边AB=4,P为△ABC内部一点,则AP+BP+CP的最小值是
2
2
+2
6
(或不化简为
32+16
3
2
2
+2
6
(或不化简为
32+16
3
.(结果可以不化简)

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科目:初中数学 来源: 题型:

一个图形无论经过平移变换,还是经过旋转变换,下列说法正确的是(  )
①对应线段平行 
②对应线段相等 
③图形的形状和大小都没有发生变化 
④对应角相等.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

一个图形无论经过平移变换,还是经过旋转变换,下列说法正确的是(  )
①对应线段平行 
②对应线段相等 
③图形的形状和大小都没有发生变化 
④对应角相等.
A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

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