Question

旋转变换是世界运动变化的简捷形式之一，也是数学问题中一种重要的思想方法．解与图形的旋转相关的问题常用到全等三角形的知识，而利用旋转过程中的不变量、不变性是解决问题的关键．请你选择其中一题进行解答．
（1）如图1，已知P是等边三角形ABC内一点，PB=2，PC=1，∠BPC=150°，求PA的长；
（2）如图2，已知O是等边△ABC内的一点，∠AOB、∠BOC、∠AOC的角度之比为6：5：4．求在以OA、OB、OC为边的三角形中，此三边所对的角度之比．

Answer 1

解：（1）如图，连接PP′，
将△BPC绕C点顺时针旋转60°到△AP′C的位置，由旋转的性质，得CP=CP′，
∴△PP′C为等边三角形，
由旋转的性质可知∠AP′C=∠BPC=150°，
∴∠AP′P=150°-60°=90°，
又∵PP′=PC=1，AP′=BP=2，
∴在Rt△APP′中，由勾股定理，得PA==；

（2）以点A为中心，将△AOB逆时针旋转60°得△AO′C，
则△AO′C≌△AOB．
∴O′C=OB．连接OO′，
知△AOO′为等边三角形．
则OO′=OA，
∴△OO′C为以OA、OB、OC为边组成的三角形，
∵∠AOB：∠BOC：∠AOC=6：5：4，∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，
∴∠AOB=144°，∠BOC=120°，∠AOC=96°，
∵△AOO′为等边三角形，
∴∠COO′=96°-60°=36°，∠CO′O=∠CO′A-60°=∠AOB-60°=84°，
∠OCO′=180°-36°-84°=60°，
∴∠OCO′：∠COO′：∠CO′O=5：3：7．
分析：（1）根据等边三角形的性质，将△BPC绕C点顺时针旋转60°到△AP′C的位置，可证△PP′C为等边三角形，由旋转的性质可知∠AP′C=∠BPC=150°，从而可得∠AP′P=90°，PP′=PC=1，已知AP′=BP=2，在Rt△APP′中，由勾股定理可求PA；
（2）如图②，将△AOB绕A点逆时针旋转60°到△AO′C的位置，由旋转的性质可知OA=OO′，OB=CO′，故以OA、OB、OC为边组成的三角形为△OO′C，再根据已知条件求△OO′C的各内角即可．
点评：本题利用了旋转的性质解题．关键是根据AB=BC，∠ABC=60°，得出等边三角形，运用勾股定理逆定理得出直角三角形．