Question

1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点P在AB边上，点D在射线CB上，PC=PD．
（1）当∠A=45°（如图1）时，求证：BD=AC-$\sqrt{2}$AP；
（2）当∠A=60°（如图2）时，线段BD、AC、AP之间的数量关系为BD=$\sqrt{3}$AC-$\sqrt{3}$AP；
（3）在（2）的条件下，过点B作PD的垂线，垂足为M，交PC的延长线于点N，若BD=3，△ACP的面积为$\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$，求线段MN的长．

Answer 1

分析 （1）P作E⊥C，PF⊥BC垂足分别为E、F（如图1），先证明CD=$\sqrt{2}$AP，然后利用BD=BC-CD即可解决．
（2）分两步证明①CD=$\sqrt{3}$AP，②BC=$\sqrt{3}$AC，利用BD=BC-CD即可证得．
（3）根据AC-AP=$\sqrt{3}$和AC•AP=18求得AC，AP，再求出PH，PM，CH利用$\frac{CH}{MN}=\frac{PH}{PM}$即可求解．

解答 （1）证明：如图1，作PE⊥C，PF⊥BC垂足分别为E、F．
∵∠A=45°，∠AEP=∠ACB=90°，
∴∠EPA=∠B=∠A=45°，
∴EA=EP，CA=AB，AP=$\sqrt{2}$PE，
∵∠PEC=∠ECF=∠CFP=90°，
∴四边形PFCE是矩形，
∴PE=CF，
∵PC=PD，PF⊥CD，
∴CF=FD=PE，CD=2PE=$\sqrt{2}$AP，
∴BD=BC-CD=AC-$\sqrt{2}$AP．
（2）结论：BD=$\sqrt{3}$AC-$\sqrt{3}$AP，理由如下：
如图2，作PE⊥C，PF⊥BC垂足分别为E、F．
∵∠A=60°，∠AEP=90°，
∴∠EPA=∠B=30°，
∴PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AP，BC=$\sqrt{3}$AC
∵∠PEC=∠ECF=∠CFP=90°，
∴四边形PFCE是矩形，
∴PE=CF，
∵PC=PD，PF⊥CD，
∴CF=FD=PE，CD=2PE=$\sqrt{3}$AP，
∴BD=BC-CD=$\sqrt{3}$AC-$\sqrt{3}$AP．
故答案为BD=$\sqrt{3}$AC-$\sqrt{3}$AP．
（3）如图3，作DG⊥AB，CH⊥PD垂足分别为G、H．
∵BD=$\sqrt{3}$AC-$\sqrt{3}$AP=3，
∴AC-AP=$\sqrt{3}$    ①
∵△APC面积为$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$•AC•$\frac{\sqrt{3}}{2}$AP=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴AC•AP=18     ②
由①②得AC=3$\sqrt{3}$，AP=2$\sqrt{3}$，
∴PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AP=3，AE=$\sqrt{3}$，EC=2$\sqrt{3}$，CD=2PE=6，PC=$\sqrt{E{C}^{2}+P{E}^{2}}$=$\sqrt{21}$，
在RT△BDG中，∵BD=3，∠DBG=30°，
∴DG=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{3}{2}$，BG=$\sqrt{3}$DG=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵AB=2AC=6$\sqrt{3}$，
∴PG=AB-AP-BG=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∵cos∠BPM=$\frac{PG}{PD}=\frac{PM}{PB}$，
∴$\frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{21}}=\frac{PM}{4\sqrt{3}}$，
∴PM=$\frac{10\sqrt{21}}{7}$，
在△PCD中，∵$\frac{1}{2}$CD•PF=$\frac{1}{2}$•PD•CH，
∴CH=$\frac{CD•PF}{PD}$=$\frac{12\sqrt{7}}{7}$，
∴PH=$\sqrt{P{C}^{2}-C{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∵CH∥MN，
∴$\frac{CH}{MN}=\frac{PH}{PM}$，
∴$\frac{\frac{12\sqrt{7}}{7}}{MN}=\frac{\frac{\sqrt{21}}{7}}{\frac{10\sqrt{21}}{7}}$，
∴MN=$\frac{120\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、特殊三角形的边角关系、三角函数、勾股定理、平行线的性质等知识，添加常用辅助线是解题的关键，学会用方程的思想去思考问题，第三个问题有点难度，计算量比较大．