Question

（1）课本回顾
如图1，用半径R=3cm，r=2cm的钢球测量口小内大的内孔的直径D．测得钢球顶点与孔口平面的距离分别为a=4cm，b=2cm，则内孔直径D的大小为

 

．

（2）问题拓展
如图2，在矩形ABCD内，已知⊙O₁与⊙O₂互相外切，且⊙O₁与边AD、DC相切，⊙O₂与边AB、BC相切．若AB=4，BC=3，⊙O₁与⊙O₂的半径分别为r，R．求O₁O₂的值．
（3）灵活运用
如图3，某市民广场是半径为60米，圆心角为90°的扇形AOB，广场中两个活动场所是圆心在OA、OB上，且与扇形OAB内切的半圆☉O₁、☉O₂，其余为花圃．若这两个半圆相外切，试计算当两半圆半径之和为50米时活动场地的面积．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）利用相切两圆的性质得出AB=5cm，再利用已知得出BC的长，由勾股定理求出AC的长，即可得出EF的长；
（2）连接O₁、O₂，并分别过O₁、O₂作AB、BC的平行线，则O₁O₂²=O₁ E²+O₂E²，进而求出R+r的值即可；
（3）当两圆半径之和为50米时，有O₁O=60-r，O₂O=60-R，O₁O₂=50，则（60-r）²+（60-R）²=50²，即可得出R²+r²，进而利用圆的面积公式求出即可．

解答：解：（1）如图1，
∵半径R=3cm，r=2cm，a=4cm，b=2cm，
∴AB=5cm，BC=3+4-4=3（cm），
∴AC=4cm，
∴D=EF=AF+EC+AC=3+4+2=9（cm），
故答案为：9cm；                 

（2）如图2，连接O₁、O₂，并分别过O₁、O₂作AB、BC的平行线．
则O₁O₂²=O₁ E²+O₂E²．
即（R+r）²=[4-（R+r）]²+[3-（R+r）]²
化简得：（R+r）²-14（R+r）+25=0，
解得：O₁O₂=r+R=7-2

6

或7+2

6

（不合题意舍去）；

（3）当两圆半径之和为50米时，
有O₁O=60-r，O₂O=60-R，O₁O₂=50，
则（60-r）²+（60-R）²=50²．
即R²+r²-120（R+r）+4700=0．
∴R²+r²=1300．
∴活动场所面积=

1

2

πR²+

1

2

πr²=

1

2

π•1300=650π（平方米）．

点评：此题主要考查了相切两圆的性质以及勾股定理和一元二次方程的解法等知识，利用相切两圆的性质得出圆心距与两圆半径关系是解题关键．