Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=

m

x

(m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B坐标为（6，n）．线段OA=5，E为x轴上一点，且sin∠AOE=

4

5

．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOC的面积；
（3）直接写出kx+b＞

m

x

时的x取值范围．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：（1）作AD⊥x轴于D，在Rt△AOD中，利用正弦的定义可计算出AD=4，再利用勾股定理计算出OD=3，则A点坐标为（-3，4），然后把A点坐标代入y=

m

x

可计算出m-12，从而得到反比例函数解析式为y=-

12

x

；再利用反比例函数解析式确定B点坐标为（6，-2），然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先确定C点坐标为（3，0），然后根据三角形面积公式计算△AOC的面积；
（3）观察函数图象得到当x＜-3或0＜x＜6时，一次函数图象都在反比例函数图象上方，即有kx+b＞

m

x

．

解答：解：（1）作AD⊥x轴于D，如图，
在Rt△AOD中，OA=5，
∴sin∠AOD=

AD

OA

=

4

5

，
∴AD=4，
∴OD=

OA2-AD2

=3，
∴A点坐标为（-3，4），
把A（-3，4）代入y=

m

x

得m=-3×4=-12，
∴反比例函数解析式为y=-

12

x

；
把B（6，n）代入y=-

12

x

得6n=-12，解得n=-2，
∴B点坐标为（6，-2），
把A（-3，4）、B（6，-2）代入y=kx+b得

-3k+b=4 6k+b=-2

，解得

k=- 2 3 b=2

，
∴一次函数解析式为y=-

2

3

x+2；
（2）把y=0代入y=-

2

3

x+2得-

2

3

x+2=0，解得x=3，
∴C点坐标为（3，0），
∴△AOC的面积=

1

2

×3×4=6；
（3）当x＜-3或0＜x＜6时，kx+b＞

m

x

．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．