Question

一元二次方程ax²-bx+c=0在（0，1）中有两个不同的实数根，其中a，b，c是整数．求证：具有这种性质的a的最小正整数值存在．

Answer 1

分析：求出b²-4ac＞0，求出当x=0、x=1时，y的值推出c（a-b+c）=ac-bc+c²＞0，解不等式得到bc-c²＜ac＜

b2

4

，求出当c＞0时，有b-c＜a＜

b2

4c

，推出

b2

4c

为正整数，分别讨论①|b|=2，c=1时，a无最小整数值；②|b|=4，c=1时，a有最小整数值1；③|b|=2，c=-1时，有-1＜a＜1或-1＜a＜3，此时a有最小整数值1，根据结论即可得到答案．

解答：证明：设f（x）=ax²-bx+c，
∵一元二次方程ax²-bx+c=0在（0，1）中有两个不同的实数根，
∴b²-4ac＞0，且f（0）•f（1）＞0，即曲线的端点值同号，
当x=0时，y=c，
当x=1时，y=a-b+c，即c（a-b+c）=ac-bc+c²＞0，
解上述不等式bc-c²＜ac＜

b2

4

，a b c均为整数，c=0时不等式不成立，
∴c≠0，
∴b²≥4，
|b|≥2，
当c＞0时，有b-c＜a＜

b2

4c

，
则

b2

4c

为正整数，
|b|=2，c=1时，有-3＜a＜1或-1＜a＜1，此时a无最小整数值；
|b|=4，c=1时，有-5＜a＜4或3＜a＜4，此时a有最小整数值；
若c＜0，有

b2

4c

＜a＜b-c，且

b2

4c

为负整数，
|b|=2，c=-1时，有-1＜a＜1或-1＜a＜3，此时a有最小整数值，
综合上述：a的最小整数值是1．
∴具有这种性质的a的最小正整数值存在．

点评：本题主要考查对根的判别式，一元二次方程的根的分布等知识点的理解和掌握，能根据性质进行推理是解此题的关键．