Question

如图，以△ABC的边AC为直径的半圆交AB于D，三边长a，b，c能使二次函数y=

1

2

(c+a)x2-bx+

1

2

(c-a)的顶点在x轴上，且a是方程z²+z-20=0的一个根．
（1）证明：∠ACB=90°；
（2）若设b=2x，弓形面积S_弓形AED=S₁，阴影部分面积为S₂，求（S₂-S₁）与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当b为何值时，（S₂-S₁）最大？

Answer 1

分析：（1）已知抛物线的顶点在x轴上，因此抛物线与x轴只有一个交点，令y=0，方程的△=0，由此即可证得三角形ABC为直角三角形，即可得出所求的结论．
（2）由于S₂-S₁=S_△ABC-（S_半圆-S₁）-S₁=S_△ABC-S_半圆因此只需求出三角形ABC和半圆的面积即可．根据题中给出的方程可求出a的值及BC的长，AC=b=2x，由此可求出三角形和半圆的面积，即可得出（S₂-S₁）与x的函数关系式．
（3）根据（2）得出的函数的性质即可求得（S₂-S₁）最大时对于的b的值．

解答：解：（1）因为二次函数y=

1

2

（a+c）x²-bx+

1

2

（c-a）的顶点在x轴上，
∴△=0，
即b²-4×

1

2

（a+c）×

1

2

（c-a）=0，
∴c²=a²+b²，
得∠ACB=90°，
或者从抛物线顶点的纵坐标为零求得
y=

4× 1 2 (a+c)× 1 2 (c-a)-b2

4× 1 2 (a+c)

=0，
可得c²=a²+b²；

（2）∵z²+z-20=0．
∴z₁=-5，z₂=4，
∵a＞0，得a=4，
设b=AC=2x，有S_△ABC=

1

2

AC•BC=4x，S_半圆=

1

2

πx²，
∴S₂-S₁=S_△ABC-（S_半圆-S₁）-S₁=S_△ABC-S_半圆=-

π

2

x²+4x，

（3）S₂-S₁=-

π

2

（x-

4

π

）²+

8

π

，
∴当x=

4

π

，
即b=

8

π

时，（S₂-S₁）有最大值

8

π

．

点评：本题考查一元二次方程的解法，二次函数与一元二次方程的关系、勾股定理、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．