Question

19．如图，已知在平行四边形ABCD中，AC=BC，E，F为AB和CD边的中点，
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）添加一个条件∠BAC=45°，可使矩形AECF成为正方形．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质和已知条件得出AE=CF，AE∥CF，证出四边形AECF是平行四边形，再由等腰三角形的三线合一性质得出∠AEC=90°，即可得出结论；
（2）由添加条件得出△ACE是等腰直角三角形，得出AE=CE，即可得出四边形AECF为正方形．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵E，F为AB和CD边的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，CF=$\frac{1}{2}$CD，
∴AE=CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
，∵AC=BC，E为AB的中点，
∴CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴四边形AECF是矩形；
（2）解：添加条件：∠BAC=45°；理由如下：
∵∠AEC=90°，∠BAC=45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AE=CE，
∴四边形AECF为正方形．
故答案为：∠BAC=45°．

点评 本题考查了正方形的判定方法、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和等腰三角形的性质是解题的关键．