Question

3．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形OEFG的一边OG经过点D，且D是OG的中点，OG=$\sqrt{2}$AB，若正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕O点逆时针旋转α角，（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，当α=30或150度时，∠OAG′=90°．

Answer 1

分析 根据题意和锐角正弦的概念以及特殊角的三角函数值得到∠AG′O=30°，分两种情况求出α的度数．

解答 解：当α为锐角时，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB，∠ABC=90°，OA=OD=$\frac{1}{2}$AC，
∴AC=$\sqrt{2}$AB，
∵OG=$\sqrt{2}$AB，
∴OG′=OG=AC=2AO，
∵∠OAG′=90°，OA=$\frac{1}{2}$OG′，
∴∠AG′O=30°，
∴∠AOG′=60°，
∴∠DOG′=90°-60°=30°，
即α=30°；
当旋转到如图2所示位置，同理证得∠AG′O=30°，
∴∠AOG′=60°，
∴α=90°+60°=150°，
综上所述：α的度数为30°或150°，
故答案为：30°或150°．

点评 本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义，掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质是解题的关键，注意特殊角的三角函数值的应用．