已知:抛物线y=-x2+(m+2)x+m-1与x轴交于A.B两点(点A.B分别在原点O的左.右两侧).以OA.OB为直径作⊙O1和⊙O2．(1)请问:⊙O1和⊙O2.能否为等圆?若能.求出其半径的长度,若不能.说明理由,(2)设抛物线向上平移4个单位后.⊙O1.⊙O2的面积分别成为S1.S2.且4S2-16S1=5π.求平移后所得抛物线的解析式,所得的抛物线与y轴交于点C.⊙O1和⊙O2的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（1998•绍兴）已知：抛物线y=-x²+（m+2）x+m-1与x轴交于A、B两点（点A、B分别在原点O的左、右两侧），以OA、OB为直径作⊙O₁和⊙O₂．
（1）请问：⊙O₁和⊙O₂，能否为等圆？若能，求出其半径的长度；若不能，说明理由；
（2）设抛物线向上平移4个单位后，⊙O₁、⊙O₂的面积分别成为S₁、S₂，且4S₂-16S₁=5π，求平移后所得抛物线的解析式；
（3）由（2）所得的抛物线与y轴交于点C，⊙O₁和⊙O₂的一条外公切线MN分别交x轴和y轴于点P、Q（M、N为切点，如图所示），求△CPQ的面积．

【答案】分析：（1）设A、B两点的坐标分别为（x₁，0）（x₂，0），由于A、B位于原点两侧，根据一元二次方程根与系数的关系可得出x₁x₂＜0，即m＞1．而要使两圆为等圆，必须满足的条件是抛物线的对称轴为y轴，即m=-2，因此两圆不可能成为等圆．
（2）平移后抛物线的解析式为y=-x²+（m+2）x+m+3，可用十字相乘法得出A、B两点的坐标，也就求出了OA，OB的长，然后根据4S₂-16S₁=5π，即可求出m的值．也就能求出平移后抛物线的解析式了．
（3）可连接O₁M和O₂N，过O₁作O₂N的垂线，通过两圆的半径和以及半径差求出OPQ的正弦值，然后在直角三角形PMO₁中，根据⊙O₁的半径和∠OPQ的正弦值求出PM和PO₁的长，进而可求出OP、PQ、OQ的长，然后根据三角形的面积公式即可得出△CPQ的面积．
解答：解：（1）不能为等圆；
设A、B两点的坐标分别为（x₁，0）（x₂，0）
x₁•x₂=-（m-1）＜0，m＞1
∴x₁+x₂=m+2＞0
即x₁+x₂≠0，
∴A、B两点到原点距离不能相等
即⊙O₁和⊙O₂的直径不相等．

（2）抛物线向上平移4个单位，解析式为
y=-x²+（m+2）x+m+3
令y=0，x₁=-1，x₂=m+3
∴⊙O₁，⊙O₂的半径分别为1，m+3；
∵4S₂-16S₁=5π
∴（m+3）²-4=5
m₁=0，m₂=-6
当m=0时，y=-x²+2x+3
当m=-6时，y=-x²-4x-3
此时x₁x₂=3＞0，不合题意，舍去
∴所求抛物线解析式为y=-x²+2x+3．

（3）连接O₁M，O₂N，过O₁作O₁D⊥O₂N于D，则O₁M=

，O₂N=

∴O₁O₂=2，O₁D=1
直角三角形O₁O₂D中，∠O₂O₁D=30°，
∴∠OPQ=30°，
直角三角形O₂PM中，O₂M=

，
∴O₂P=1
∴OP=

，OQ=

，CQ=3+

∴S_△PCQ=

CQ•OP=

．
点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系、二次函数的图形的平移、二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．

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