Question

在以O为原点的平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴正半轴交于A、B两点（B在A点的右侧），抛物线的对称轴是x=2，且S_△AOC=

3

2

．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设此抛物线的顶点为D，求四边形ADBC的面积．

Answer 1

分析：（1）根据C点的坐标，可求出OC的长，已知三角形OAC的面积，可求出A点的坐标，依据抛物线对称轴的解析式可求得B点坐标，然后求出A、B、C三点坐标后即可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式即可求出D点的坐标，由于四边形ADBC不是规则的图形，可将其分成三角形ABC和三角形ABD两部分来求．

解答：解：（1）如图所示，
∵S_△AOC=

1

2

×OA×OC=

1

2

×OA×3=

3

2

，
∴OA=1，
∴A点的坐标为（1，0），
由题意抛物线的对称轴为直线x=2，且OA=1，
根据对称性可得AB=2×（2-1）=2，
∴B点坐标为（3，0），
将A、B、C三点的坐标代入抛物线方程得：

a×12+b×1+c=0 a×32+b×3+c=0 c=3

，
解得

a=1 b=-4 c=3

，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3．

（2）将x=2代入抛物线解析式求得D点坐标为-1，
∴S_{四边形ADBC}=S_△ABC+S_△ABD=

1

2

×AB×（|y_C||y_D|），
=

1

2

×2×（3+1）=4，
∴四边形ADBC的面积为4．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定和图形面积的求法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．