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(2004•泰安)已知:如图,⊙P与⊙O相交于点A、B,且⊙P经过点O,点C是⊙P的优弧AB上任意一点(不与点A、B重合),弦OC交公共弦AB于点D,连接CA、CB.
(1)求证:CD•CO=CA•CB;
(2)当点C在⊙P上何位置时,直线CA与⊙O相切?并说明理由;
(3)当∠ACB等于60°时,两圆半径有什么关系?并说明理由.
分析:(1)首先证明△ACO∽△DCB,根据相似三角形的性质可得
AC
DC
=
CO
CB
,进而得到CD•CO=CA•CB;
(2)连接OP,并延长与⊙P交于点E.若点C在点E位置时,直线CA与⊙O相切,然后根据直径所对的圆周角是直角可得∠OAE=90°,进而得到OA⊥EA,即EA与⊙O相切;
(3)当∠ACB=60°时,两圆半径相等,作直径OE,连接BE,AE,OA,然后证明∠AEO=30°,再根据直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OA=
1
2
OE,进而得到OP=OA.
解答:(1)证明:在⊙O中,∵AO=BO,
AO
=
BO

∴∠ACO=∠DCB,
又∵∠1=∠2,
∴△ACO∽△DCB,
AC
DC
=
CO
CB

∴CD•CO=CA•CB;

(2)解:连接OP,并延长与⊙P交于点E.
若点C在点E位置时,直线CA与⊙O相切,
理由:连接AE,
∵EO是⊙P的直径,
∴∠EAO=90°,
∴OA⊥EA,
∴EA与⊙O相切,
即点C在点E位置时,直线CA与⊙O相切.

(3)当∠ACB=60°时,两圆半径相等.理由:
解:作直径OE,连接BE,AE,OA,
∵∠AEB=∠ACB=60°,PO垂直平分AB,
AO
=
BO

∴∠AEO=∠BEO,
∴∠AEO=30°,
∵OE是直径,
∴∠EAO=90°,
∴OA=
1
2
OE,
∴OA=PO,
∴当∠ACB=60°时,两圆半径相等.
点评:本题主要考查了圆的综合,关键是掌握等弧所对的圆周角相等;直径所对的圆周角等于90°;直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半,切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识.具有一定的综合性.
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(2004•泰安)“五一”期间,我市某商场举行促销活动,活动期间规定:商场内所有商品按标价的80%出售;同时,当顾客在该商场消费满一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券:
消费金额p(元)的范围 200≤p<400 400≤p<500 500≤p<700 700≤p<900
获得奖券金额(元) 30 60 100 130
根据促销方法,顾客在该商场购物可获得双重优惠.例如,购买标价为450元的商品,则消费金额为450×0.8=360(元),获得优惠额为:450×0.2+30=120(元).设购买商品的优惠率=
购买商品获得的优惠额
商品的标价

试问:(1)购买一件标价为800元的商品,顾客得到的优惠率是多少?
(2)若一顾客购买了一套西装,得到的优惠率为
1
3
,已知该套西装的标价高于700元,低于850元,该套西装的标价是多少元?

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