Question

计算

1+ 1 12 + 1 22

=

 

；

1+ 1 22 + 1 32

=

 

；

1+ 1 32 + 1 42

=

 

；
（2）猜想

1+ 1 42 + 1 52

=

 

；

1+ 1 20032 + 1 20042

=

 

；
（3）猜想

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

的结果并验证．
（4）计算

1+ 1 12 + 1 22

+

1+ 1 22 + 1 32

+

1+ 1 32 + 1 42

+…+

1+ 1 20032 + 1 20042

．

Answer 1

考点：二次根式的性质与化简

专题：规律型

分析：（1）计算出被开方数，然后开方；
（2）总结规律，猜想结果；
（3）猜想结果，代入数值验证；
（4）根据前三步得到规律，进行转化，消掉中间项，相加即可．

解答：解：（1）

1+ 1 12 + 1 22

=

9 4

=

3

2

；

1+ 1 22 + 1 32

=

49 36

=

7

6

；

1+ 1 32 + 1 42

=

169 144

=

13

12

；
（2）

1+ 1 42 + 1 52

=

4×5+1

4×5

=

21

20

；

1+ 1 20032 + 1 20042

=

2003×2004+1

2003×2004

=

4014013

4014012

；
（3）

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n(n+1)+1

n(n+1)

；
当n=2时，

1+ 1 22 + 1 32

=

7

6

；

2×(2+1)+1

2×(2+1)

=

7

6

，

1+ 1 22 + 1 32

=

2×(2+1)+1

2×(2+1)

．
（4）原式

3

2

+

7

6

+

13

12

+

21

20

+

31

30

+…+

2003×2004+1

2003×2004

=1+

1

2

+1+

1

6

+1+

1

12

+1+

1

20

+…+1+

1

2003×2004

=2003+

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2003×2004

=2003+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2003

-

1

2004

=2003+

2003

2004

=2003

2005

2004

．

点评：本题考查了二次根式的性质与化简，计算出各式的值，总结规律后化简．此类题目将规律隐藏在大量的计算中，要仔细寻找．