Question

13．如图，AB是⊙O的直径，弦AC=6，BC=8，弦CD平分∠ACB．
（1）求⊙O的半径；
（2）E为$\widehat{AD}$上一点，连接AE、ED、EB，请把图形补充完整并求$\frac{EB-EA}{ED}$的值．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图，连接BD，根据圆周角定理得到$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，求得∠BAD=∠ABD=45°，根据勾股定理得到AD=5$\sqrt{2}$，在BE上截取EM=AE，于是得到BE-AE=BM，得到∠AME=45°，推出△ABM∽△ADE，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∴⊙O的半径=5；
（2）如图，连接BD，
∵弦CD平分∠ACB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∵AB=10，
∴AD=5$\sqrt{2}$，
在BE上截取EM=AE，
∴BE-AE=BM，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90，且AE=EM，
∴∠AME=45°，
∴∠AMB=135°，
∵∠DAB=∠DEB=45°，
∴∠AED=∠AMB=135°，且∠ABE=∠ADE，
∴△ABM∽△ADE，
∴$\frac{BM}{DE}$=$\frac{AB}{AD}$，
∴$\frac{BE-AE}{DE}$=$\frac{AB}{AD}$=$\sqrt{2}$，
∴原式=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．