Question

15．如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y=ax²+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）连接PB，PC，求△PBC的面积；
（3）连结AC，请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B、C的坐标，利用抛物线的对称性可得出点A的坐标，再根据点A、B、C的坐标利用待定系数法，即可求出该抛物线的函数表达式；
（2）设直线PC与x轴交于点D，根据点P、C的坐标利用待定系数法，可求出直线PC的函数关系式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，再三角形的面积公式即可求出△PBC的面积；
（3）连接PB，设抛物线对称轴与x轴的交点为点M，点Q的坐标为（t，0），由点A、B、C、P的坐标可得出AB、BC、PB的长度及∠PBQ=45°=∠ABC，分△PBQ∽△CBA和△QBP∽△CBA两种情况考虑，根据相似三角形的性质即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t值，从而得出点Q的坐标．

解答 解：（1）当x=0时，y=-x+3=3，
∴点C的坐标为（0，3）；
当y=-x+3=0时，x=3，
∴点B的坐标为（3，0）．
∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A、B，且对称轴是直线x=2，
∴点A的坐标为（1，0）．
将点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax²+bx+c中，
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴该抛物线的函数表达式为y=x²-4x+3．

（2）设直线PC与x轴交于点D，如图1所示．
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴点P的坐标为（2，-1）．
设直线PC的函数表达式为y=mx+n，
将C（0，3）、P（2，-1）代入y=mx+n中，
$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{2m+n=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线PC的函数表达式为y=-2x+3．
当y=-2x+3=0时，x=$\frac{3}{2}$，
∴点D的坐标为（$\frac{3}{2}$，0）．
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$BD•（y_C-y_P）=$\frac{1}{2}$×（3-$\frac{3}{2}$）×[3-（-1）]=3．

（3）连接PB，设抛物线对称轴与x轴的交点为点M，如图2所示．
∵点B（3，0），点C（0，3），点A（1，0），
∴∠ABC=45°，AB=2，BC=3$\sqrt{2}$．
∵P（2，-1）、B（3，0），
∴PM=MB=1，
∴∠PBQ=45°=∠ABC，PB=$\sqrt{2}$．
∴以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似存在两种情况．
设点Q的坐标为（t，0）（t＜3），则OB=3-t．
①当△PBQ∽△CBA时，$\frac{QB}{AB}$=$\frac{PB}{CB}$，
∴$\frac{3-t}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$，
解得：t=$\frac{7}{3}$，
此时点Q的坐标为（$\frac{7}{3}$，0）；
②当△QBP∽△CBA时，$\frac{QB}{CB}$=$\frac{PB}{AB}$，
∴$\frac{3-t}{3\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：t=0，
此时点Q的坐标为（0，0）．
综上所述：在x轴上存在点Q（$\frac{7}{3}$，0）或（0，0），使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次（二次）函数解析式、三角形的面积、勾股定理以及相似三角形的性质，解题的关键是：（1）根据点A、B、C的坐标利用待定系数法，求出该抛物线的函数表达式；（2）根据点P、C的坐标利用待定系数法，求出直线PC的函数关系式；（3）分△PBQ∽△CBA和△QBP∽△CBA两种情况，找出关于t的一元一次方程．