Question

10．一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有15条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的过程．

Answer 1

分析 利用多边形对角线公式：对角线的条数=$\frac{n（n-3）}{2}$列出方程，然后求得方程的解，从而可做出判断．

解答 解：设这个多边形是n边形，则
∵$\frac{n（n-3）}{2}$=20，
∴n²-3n-40=0，
（n-8）（n+5）=0，
解得n=8，n=-5（舍去），
故多边形的边数为8；

∵$\frac{n（n-3）}{2}$=15，
∴n²-3n-30=0，
∵b²-4ac=9+120=129，
∴方程的根，无法求出整数，
故这样的多边形不存在．

点评 此题主要考查了多边形对角线公式，熟练记忆公式是解题关键．