Question

如图,将矩形沿折叠,使点落在边上的点处;再将矩形沿折叠,使点落在点处且过点．

（1）求证:四边形是平行四边形;
（2）当是多少度时,四边形为菱形?试说明理由．

Answer 1

（1）证明见解析;（2）当∠B₁FE=60°时,四边形EFGB为菱形,理由见解析．

试题分析：（1）由题意,∠B₁FE=∠FEB,结合∠B₁FE=∠BFE,得BE=BF,同理可得FG=BF,即BE=FG,结合BE∥FG,得到四边形BEFG是平行四边形;
（2）当∠B₁FE=60°时,四边形EFGB为菱形,由∠B₁FE=60°,得∠BFE=∠BEF=60°,得到△BEF为等边三角形,即BE=EF,结合四边形BEFG是平行四边形,即可证得．
试题解析：（1）∵A₁D₁∥B₁C₁,
∴∠B₁FE=∠FEB．
又∵∠B₁FE=∠BFE,
∴∠FEB=∠BFE．
∴BE=BF．
同理可得：FG=BF．
∴BE=FG,
又∵BE∥FG,
∴四边形BEFG是平行四边形;
（2）当∠B₁FE=60°时,四边形EFGB为菱形．
理由如下：
∵∠B₁FE=60°,
∴∠BFE=∠BEF=60°,
∴△BEF为等边三角形,即BE=EF．
∵四边形BEFG是平行四边形,BE=EF．
∴四边形BEFG是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）．