Question

【题目】如图，△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点 P 从点 C开始，按 C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒 1cm，设出发的时间为 t 秒．

（1）出发 2 秒后，求△ABP 的周长．

（2）当 t 为几秒时，BP 平分∠ABC？

（3）另有一点 Q，从点 C 开始，按 C→B→A→C 的路径运动，且速度为每秒 2cm，若 P、Q 两点同时出发，当 P、Q 中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当 t 为何值时，直 线 PQ 把△ABC 的周长分成相等的两部分？

Answer 1

【答案】（1）（16+2）cm；（2）3；（3）4或12

【解析】

（1）利用勾股定理AC=8cm和PB=2cm，所以求出了三角形的周长．

（2）过点P作PD⊥AB于点D，证明Rt△PBC≌Rt△PBD，得出AD的值，再设PC=xcm，则PA=（8-x）cm，利用勾股定理求解即可；

（3）利用分类讨论的思想和周长的定义求出了答案．

解：（1）如图1，

∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，

∴由勾股定理得AC=8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm

∴出发2秒后，则CP=2cm，那么AP=6cm．

∵∠C=90°，

∴由勾股定理得PB=2cm

∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=6+10+2=（16+2）cm；

（2）如图2所示，过点P作PD⊥AB于点D，

∵BP平分∠ABC，

∴PD=PC．

在Rt△PBC与Rt△PBD中，

，

∴Rt△PBC≌Rt△PBD（HL），

∴BD=CB=6cm，

∴AD=10-6=4cm．

设PC=xcm，则AP=（8-x）cm

在Rt△BPD中，，

即，

解得：x=3

∴当t=3秒时，BP平分∠ABC；

（3）分两种情况：①当P、Q没相遇前，P点走过的路程为tcm，Q走过的路程为2tcm，

∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分

∴t+2t=12

∴t=4s；
②当P、Q相遇后，当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t-8，AQ=2t-16，

∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分

∴t-8+2t-16=12

∴t=12s

故当t为4秒或12秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．