【题目】如图,正方形ABCD的边长是4,∠DAC的角平分线交DC于点E,点P、Q分别是边AD和AE上的动点(两动点不重合).
(1)PQ+DQ的最小值是 .
(2)说出PQ+DQ取得最小值时,点P、Q的位置,并在图中画出;
(3)请对(2)中你所给的结论进行证明.
【答案】(1);(2)画图见解析;(3)证明见解析.
【解析】解:(1);…………………………………………………………2分
(2)如图4,过点D作DF⊥AC,垂足为F,………………………3分
DF与AE的交点即为点Q;………………………………………………4分
过点Q作QP⊥AD,垂足即为点P;……………………………………5分
(3)由(2)知,DF为等腰Rt△ADC底边上的高,
∴DF=AD·sin45°=4×=
.…………………………6分
∵AE平分∠DAC,Q为AE上的点,
且QF⊥AC于点F,QP⊥AD于点P,
∴QP=QF(角平分线性质定理),……………………………………7分
∴PQ+DQ=FQ+DQ=DF=.
下面证明此时的PQ+DQ为最小值:
在AE上取异于Q的另一点Q1(图5).…………………………………9分
①过Q1点作Q1F1⊥AC于点F1,………………………………………10分
过Q1点作Q1P1⊥AD于点P1,…………………………………………11分
则P1Q1+DQ1=F1Q1+DQ1,
由“一点到一条直线的距离”,可知,垂线段最短,
∴得F1Q1+DQ1>FQ+DQ,
即P1Q1+DQ1>PQ+DQ.…………………………………………12分
②若P2是AD上异于P1的任一点,………………………………………13分
可知斜线段P2Q1>垂线段P1Q1,………………………………………14分
∴P2Q1+DQ1>P1Q1+DQ1>PQ+DQ.
从而可得此处PQ+DQ的值最小.
此题考核正方形的性质,利用垂线段最短求证最小值
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某村原有林地108公顷,旱地54公顷,为保护环境,需把一部分旱地改造为林地,使旱地面积占林地面积的20%.设把x公顷旱地改为林地,则可列方程( )
A.54﹣x=20%×108
B.54﹣x=20%(108+x)
C.54+x=20%×162
D.108﹣x=20%(54+x)
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】下列下列命题是真命题的是( )
A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B. 相等的两个角一定是对顶角
C. 将一根细木条固定在墙上,只需要一根钉子
D. 同角的余角相等
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,⊙O的半径OA⊥OC,点D在上,且
=2
,OA=4.
(1)∠COD= °;
(2)求弦AD的长;
(3)P是半径OC上一动点,连结AP、PD,请求出AP+PD的最小值,并说明理由.
(解答上面各题时,请按题意,自行补足图形)
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