Question

20．如图，在直角坐标系xOy中，一直线y=2x+b经过点A（-1，0）与y轴正半轴交于B点，在x轴正半轴上有一点D，且OB=OD，过D点作DC⊥x轴交直线y=2x+b于C点，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过点C．
（1）求b，k的值；
（2）求△BDC的面积；
（3）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上找一点P（异于点C），使△BDP与△BDC的面积相等，求出P点坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求得b，进而求得D的坐标，根据D的坐标求得C的坐标，代入反比例函数的解析式即可求得k的值；
（2）根据三角形的面积公式求得即可；
（3）过点C作BD的平行线，交反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象于P，此时△BDP与△BDC同底等高，所以△BDP与△BDC面积相等，先求得直线BD的解析式，进而求得直线PC的解析式，然后联立方程即可求得P的坐标．

解答 解：（1）∵直线y=2x+b经过点A（-1，0），
∴0=-2+b，解得b=2，
∴直线的解析式为y=2x+2，
由直线的解析式可知B（0，2），
∵OB=OD=2
∴D（2，0），
把x=2代入y=2x+2得，y=2×2+2=6，
∴C（2，6），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞O）经过点C，
∴k=2×6=12；
（2）S_△BDC=$\frac{1}{2}$DC×OD=$\frac{1}{2}$×6×2=6；
（3）过点C作BD的平行线，交反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象于P，此时△BDP与△BDC同底等高，所以△BDP与△BDC面积相等，
∵B（0，2），D（2，0），
∴直线BD的解析式为y=-x+2，
∴直线CP的解析式为y=-x+2+6=-x+8，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+8}\\{y=\frac{12}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴P点坐标为（6，2）．

点评 本题考查了待定系数法求直线的解析式和反比例函数的解析式，平移的性质，三角形的面积等，数形结合思想的运用是解题的关键．