Question

如图，将边长为6的正三角形ABC沿着MN折叠，使点A落在BC边上的D点处．
（1）当折痕MN为△ABC的中位线时，求BD的长；
（2）试说明△BDM与△CND是否相似；
（3）若AM：AN=2：3时，求S_△ABD：S_△ADC．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的中位线定理，得MN∥BC，则此时AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一的性质，得D是BC边的中点；
（2）根据两个角对应相等即可证明三角形相似；
（3）根据AM：AN=2：3，则DM：DN=2：3，再结合（2）的结论，根据相似三角形的面积比是相似比的平方即可求解．

解答：解：（1）∵折痕MN为△ABC的中位线，
∴MN∥BC，AD⊥MN，
∴AD⊥BC，
又AB=AC，
∴BD=

1

2

BC=3；

（2）根据题意，得△AMN≌△DMN，则∠MDN=∠MAN=60°，
∴∠BDM+∠CDN=120°，
又∠BDM+∠BMD=120°，
∴∠CDN=∠BMD，
又∠B=∠C=60°，
∴△BDM∽△CND；

（3）∵AM：AN=2：3，
∴DM：DN=2：3，
∵△BDM∽△CND，
∴S_△ABD：S_△ADC=4：9．

点评：此题综合考查了等边三角形的性质、折叠的性质、三角形的中位线定理、相似三角形的判定及性质．