Question

10．如图，△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O交AB于E，交AD的延长线于F，连结EF，∠1=∠F．
（1）求证：AE=BE；
（2）若tanB=$\frac{1}{2}$，EF=4$\sqrt{5}$，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）连接DE，由BD是⊙O的直径，得到∠DEB=90°，由于E是AB的中点，得到DA=DB，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠B等量代换即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的判定定理得到AE=EF=4$\sqrt{5}$，推出AB=2AE=8$\sqrt{5}$，在Rt△ABC中，根据勾股定理得到BC，设CD=x，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：（1）证明：连接DE，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB=90°，
∵E是AB的中点，
∴DA=DB，
∴∠1=∠B，
∵∠B=∠F，
∴∠1=∠F；

（2）∵∠1=∠F，
∴AE=EF=4$\sqrt{5}$，
∴AB=2AE=8$\sqrt{5}$，
在Rt△ABC中，∵tanB=$\frac{1}{2}$，
∴BC=2AC，∴BC=16，
设CD=x，则AD=BD=16-x，
∵AC²+CD²=AD²，
即8²+x²=（16-x）²，
∴x=3
6，即CD=6．

点评 本题考查了圆周角定理，解直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．