Question

已知半径为1cm的圆，在下面三个图中AC=10cm，AB=6cm，BC=8cm，在图2中∠ABC=90°．
（1）如图1，若将圆心由点A沿A→C方向运动到点C，求圆扫过的区域面积；
（2）如图2，若将圆心由点A沿A→B→C方向运动到点C，求圆扫过的区域面积；
（3）如图3，若将圆心由点A沿A→B→C→A方向运动回到点A．
则：I）阴影部分面积为 _________ ；II）圆扫过的区域面积为 _________ ．

Answer 1

解：（1）

由题意得，圆扫过的面积=DE×AC+πr²=（20+π）cm²．
（2）圆扫过的区域面积=AB的面积+BC的面积﹣一个圆的面积，
结合（1）的求解方法，可得所求面积=（2rπAB+πr²）+（2rπBC+πr²）﹣πr²=2r（AB+BC）+πr²=（28+π）cm²．
（3）

由题意得，EF=2r=2cm，HE=EFcot∠EHF=EFcot∠BAC=2×=cm，
HF===cm；
MD=2r=2cm，DN=MDcot∠DNM=MDcot∠ACB=2×=cm，
MN===cm，
故可得扫过的面积=图2的面积+S_△HEF+S_△DMN+S_矩形EFMD=28+π+++=（+π）cm²．
阴影部分的两条直角边分别为：AB﹣r﹣HF=cm、AC﹣r﹣MN=cm，
故阴影部分的面积为：=cm²．