Question

如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE=BD，AE延长线与BC的延长线相交于F
（1）试说明AF=BD；
（2）请问BD是∠ABC的平分线吗？如果是，请说明理由；
（3）请在图中作出△AFC关于直线AC的轴对称图形，记F的对称点为G，若BG=3cm
试求线段AD的长．

Answer 1

解：（1）∵AE⊥BE，
∴∠AED=90°，
∵∠ADE=∠BDC，∠ACB=90°，
∴∠EAD=∠DBC，
∵在△AFC和△BDC中，
，
∴Rt△AFC≌Rt△BDC（ASA），
∴AF=BD；

（2）BD是∠ABC的平分线．
理由如下：
∵AE=BD，
∴AF=2AE，
∵AF=AE+EF=2AE，
∴EF=AE，
∵在△AEB和△FEB中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△FBE（SAS），
∴∠ABE=∠FBE，
∴BD是∠ABC的角平分线；

（3）画图：
∵△AFC与△AGC关于直线AC对称，
∴△AFC≌△AGC，
∵△AFC≌△BDC，
∴△AGC≌△BDC，
∴DC=GC，
∵AC=BC，
∴AC-CD=CB-CG，
即AD=BG=3cm．
分析：（1）证明△AFC≌△BDC可根据全等三角形对应边相等可得AF=DB；
（2）首先证明EF=AE，再证明Rt△ABE≌Rt△FBE，可根据全等三角形对应角相等得到BD是∠ABC的平分线；
（3）首先根据题意画出图形，再根据△AFC≌△AGC，△AFC≌△BDC，可得△AGC≌△BDC，然后根据全等三角形对应边相等可得DC=GC，再利用AC=BC可得AD=BG=3cm．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等．