Question

自我选做题一：
若不相等的两个正整数的和、差、积、商之和是一个完全平方数，则称这样的两个数为“智慧数”，如果这两个数均不超过100，求这样的“智慧数”有多少组？

Answer 1

考点：完全平方数

专题：

分析：设这两个数分别为A、B，且B=XA（x为大于1的整数），表示出两个正整数的和、积、商之和，可得出推得X必是一完全平方数，即B是A的某完全平方数倍，在100范围内寻找即可．

解答：解：令B=XA （X＞1的整数），
则两个正整数的和、积、商之和S=A+B+B-A+A×B+

B

A

=2XA+XA²+X=X（A+1）²，
∵这两个正整数的和、积、商之和是一个完全平方数，
∴X必是一完全平方数，即B是A的某完全平方数倍．
100以内1以上的完全平方数共9个：
4、9、16、25、36、49、64、81、100，
B是A的100、81、64倍的分别有1组：（1，100）、（1、81）、（1、64）；
B是A的49倍的有2组：（1，49）、（2，98）；
B是A的36倍的有2组：（1，36）、（2，72）；
B是A的25倍的有[100/25]=4组，（1，25）、（2，50）、（3、75）、（4，100）；
B是A的16倍的有[100/16]=6组，（1，16）、（2，32）、（3，48）、（4，64）、（5，80）、（6，96）；
B是A的9倍的有[100/9]=11组；
4倍的有[100/4]=25组；
综上可得：共有3+2+2+4+6+11+25=53组．
即如果这两个数均不超过100，求这样的“智慧数”有53组．
注意（[]表示取整计算）．

点评：本题考查了完全平方数的知识，解答本题关键是设出这两个数及这两个数的关系，难点在于得出X的值后计算每组符合题意的数量，注意分类讨论，此题难度较大．