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10.某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成.如图所示,其拱形为抛物线的一部分,栅栏由立柱和横杆用相同的钢筋切割而成,横杆AB间按相同的间距$\frac{1}{5}$米用5根立柱加固,OC的长为$\frac{3}{5}$米.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求出抛物线的解析式;
(2)计算一段栅栏所需钢筋的总长度(精确到0.1米);
(3)现为了安全考虑,栅栏需整体抬高,使OC的长为$\frac{16}{15}$米,立柱间距仍然为$\frac{1}{5}$米,试判断一根长为7米的钢筋能不能做成一段符合要求的新栅栏?请说明理由.

分析 (1)先根据题意求得A(-$\frac{3}{5}$,$\frac{3}{5}$),再设y=ax2,根据待定系数法,求得抛物线的解析式为y=$\frac{5}{3}$x2
(2)根据(1)中的函数解析式,求得当x=-$\frac{2}{5}$,x=-$\frac{1}{5}$,x=0,x=$\frac{1}{5}$,x=$\frac{2}{5}$时,y=$\frac{4}{15}$,y=$\frac{1}{15}$,y=0,y=$\frac{1}{15}$,y=$\frac{4}{15}$,最后计算栅栏所需钢筋的总长度;
(3)先根据A(-$\frac{3}{5}$,$\frac{16}{15}$),运用待定系数法,求得抛物线的解析式为y=$\frac{80}{27}$x2,再求得当x=$\frac{2}{5}$,x=$\frac{1}{5}$时,y=$\frac{64}{135}$,y=$\frac{16}{135}$,进而计算栅栏所需钢筋的总长度.

解答 解:(1)以O点为原点,水平向右为x轴正方向,竖直向上为y轴正方向,建立直角坐标系,如图所示:

∵横杆AB间按相同的间距$\frac{1}{5}$米用5根立柱加固,OC的长为$\frac{3}{5}$米,
∴A(-$\frac{3}{5}$,$\frac{3}{5}$),
设y=ax2,则
$\frac{3}{5}$=a•(-$\frac{3}{5}$)2
解得a=$\frac{5}{3}$,
∴抛物线的解析式为y=$\frac{5}{3}$x2

(2)∵在y=$\frac{5}{3}$x2中,当x=-$\frac{2}{5}$,x=-$\frac{1}{5}$,x=0,x=$\frac{1}{5}$,x=$\frac{2}{5}$时,
y=$\frac{4}{15}$,y=$\frac{1}{15}$,y=0,y=$\frac{1}{15}$,y=$\frac{4}{15}$,
∴栅栏所需钢筋的总长度=5×$\frac{3}{5}$-2($\frac{4}{15}$+$\frac{1}{15}$)+$\frac{3}{5}$×2≈3.5m;

(3)由题可得A(-$\frac{3}{5}$,$\frac{16}{15}$),
设y=a'x2,则
$\frac{16}{15}$=a'•(-$\frac{3}{5}$)2
解得a'=$\frac{80}{27}$,
∴y=$\frac{80}{27}$x2
∴当x=$\frac{2}{5}$,x=$\frac{1}{5}$时,y=$\frac{64}{135}$,y=$\frac{16}{135}$,
∴栅栏所需钢筋的总长度=5×$\frac{16}{15}$-2($\frac{64}{135}$+$\frac{16}{135}$)+$\frac{3}{5}$×2=$\frac{722}{135}$<7,
∴一根长为7米的钢筋能做成一段符合要求的新栅栏.

点评 本题主要考查了二次函数的综合应用,解决问题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式的方法.在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.

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