Question

已知二次函数y=x²-2mx+m²-m-2的图象的顶点为C，图象与x轴有两个不同的交点A、B，其坐标为A（x，0）、B（4，0），且△ABC的面积为8．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在此二次函数的图象上求出到两坐标轴距离相等的点的坐标，并求出以这些点为顶点的多边形的外接圆的半径．

Answer 1

分析：（1）把B（4，0）代入二次函数的解析式，可求出m的值，把m的值分别代入二次函数的解析式，再根据△ABC的面积为8判断出m的值即可．
（2）由于与坐标轴相等的点的坐标所在的直线为y=x或y=-x，故应分两种情况讨论．
根据O，D，E，三点的坐标，判断出△ODE的形状，即可求出以这些点为顶点的多边形的外接圆的半径．

解答：解：（1）由B点坐标为（4，0）得：16-8m+m²-m-2=0，
∴m₁=2m₂=7，
当m=2时，y=x²-4x．
△ABC面积为8，符合题意，（2分）
当m=7时，y=x²-14x+40，
∴点A（10，0）B（4，0）顶点C（7，-9），
∴△ABC的面积为27，不符合题意，（4分）
∴函数解析式为y=x²-4x．（5分）

（2）与两坐标轴距离相等的点的坐标y=x时，
∴

y=x y=x2-4x

，
解之得

x1=0 y1=0

，

x2=5 y2=5

∴点O（0，0）D（5，5）（7分）
与两坐标轴距离相等的点的坐标y=-x时
∴

y=-x y=x2-4x

，
解之得

x1=0 y1=0

，

x3=3 y3=-3

，
∴点O（0，0）E（3，-3），（9分）
∴符合条件的点有三个O（0，0），D（5，5），E（3，-3）．（10分）
由题意知：OD⊥OE，即△ODE为直角三角形
∴DE为△ODE外接圆的直径如图：
∴DE=

EM2+DM2

=

[5-(-3)]2+(5-3)2

=2

17

，
∴△ODE外接圆的半径为

17

．（12分）

点评：本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，及圆的相关知识，比较复杂．