Question

【题目】（1）如图1，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，

①请你猜想写出FE与FD之间的数量关系，不用说明理由；

②判断∠AFC与∠B的数量关系，请说明理由.

（2）如图2，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中其他条件不变，请问你在（1）中所得FE与FD之间的数量关系是否依然成立？请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）①FE=FD；②∠AFC=2∠B；（2）FE=FD仍然成立，理由见解析．

【解析】

（1）①首先过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，根据角平分线的性质，可得FM=FN，又由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，求得∠NEF=75°=∠MDF，又由∠DMF=∠ENF=90°，利用AAS，即可证得△DMF≌△ENF，由全等三角形的对应边相等，即可证得FE=FD；②由①知∠BCE=45°，∠CDF=75°，利用三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和，可求出.（2）过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，根据角平分线的性质，可得FN=FM，由∠ABC=60°，即可求得∠MFN=120°，∠EFD=∠AFC=120°，继而求得∠DFM=∠NFE，利用ASA，即可证得△DMF≌△ENF，由全等三角形的对应边相等，即可证得FE=FD．

（1）①如图1，过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，

∵F是角平分线交点，

∴BF也是角平分线，

∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，

∴∠BAC=30°，

∴∠DAC= ∠BAC=15°，

∴∠CDA=75°，

∵∠MFC=45°，∠MFN=120°，

∴∠NFE=15°，

∴∠NEF=75°=∠MDF，

在△DMF和△ENF中，

∠DMF＝∠ENF，∠MDF＝∠NEF，MF=NF，

∴△DMF≌△ENF(AAS)，

∴FE=FD；

②由①知∠BCE=45°，∠CDF=75°，所以∠AFC=120°，因为∠B=60°，所以∠AFC=2∠B.

（2）如图2，过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，

∵F是角平分线交点，

∴BF也是角平分线，

∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，

∴四边形BNFM是圆内接四边形，

∵∠ABC=60°，

∴∠MFN=180°-∠ABC=120°，

∵∠CFA=180°-(∠FAC+∠FCA)=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°- (180°-∠ABC)=180°- (180°-60°)=120°，

∴∠DFE=∠CFA=∠MFN=120°．

又∵∠MFN=∠MFD+∠DFN，∠DFE=∠DFN+∠NFE，

∴∠DFM=∠NFE，

在△DMF和△ENF中，

∴△DMF≌△ENF(ASA)，

∴FE=FD．