Question

3．金秋十月，某绿色种植基地种植的农产品喜获丰收，但由于同类农产品的大量上市，本地市场价格第一天为每千克4.8元，第二天降为每千克4.6元，且价格p（元/千克）与天数x（天）（1≤x≤7且x为整数）满足一次函数关系，销售量q（千克）与天数x（天）之间满足q=100x+1500（1≤x≤7且x为整数）．
（1）求价格p（元/千克）与天数x（天）之间的函数关系式；
（2）第几天的销售收入最大？并求这个最大值；
（3）若该农产品不能在7天内出售，将会因变质而不能出售，依此情况，基地将10吨该农产品运往外地销售．已知在第5天将农产品运到了外地，并在当天全部销售完．外地销售这种农产品的价格比同一天在本地销售的价格高a%（0＜a＜20），而在运输过程中有0.6a%损耗，这样，除去各种费用l200元后收入40000元．请你参考以下数据，通过计算估算出a的整数值．
（参考数据：$\sqrt{6}$≈2.45，$\sqrt{14}≈$3.74，$\sqrt{53}≈$7.28，$\sqrt{55}≈$7.4）

Answer 1

分析 （1）设p=kx+b，根据第一天为每千克4.8元，第二天降为每千克4.6元，可求出价格p与天数x之间的函数关系式；
（2）根据（1）所得的关系式及销售量q（千克）与天数x（天）之间满足q=100x+1500，可表示出销售收入的二次函数表达式，求最值即可得出答案．
（3）表示出异地的价格和损耗后剩余的重量，根据除去各种费用l200元后收入40000元可得出关于a的方程，解出即可得出答案．

解答 解：（1）设p=kx+b，
由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4.8}\\{2k+b=4.6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-0.2}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴价格p（元/千克）与天数x（天）之间的函数关系式为：p=-0.2x+5；

（2）设第x天的销售收入为w，
则w=（-0.2x+5）（100x+1500）
=-20x²+200x+7500
=-20（x-5）²+8000，
当x=5时，w取最大值，即第5天的销售收入最大，这个最大值为8000元；

（3）本地第5天的价格为4元/千克，则外地的价格为：4（1+a%）元/千克，
10吨减去损耗剩余为：10000（1-0.6a%）千克，
由题意得，10000（1-0.6a%）×4（1+a%）-1200=40000，
解得：a=$\frac{299±20\sqrt{55}}{6}$，
∵$\sqrt{55}$≈7.42，0＜a＜20，
∴a=8.6，因为a取整数，故a=9．
答：通过计算估算a的值为9．

点评 此题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求函数解析式及配方法求二次函数最值的知识，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是认真审题，将实际问题转化为数学问题解答．