如图，在平面直角坐标系中，抛物线
的顶点A的坐标为（3,15），且过点（－2，10），对称轴AB交
轴于点B，点E是线段AB上一动点，以EB为边在对称轴右侧作矩形EBCD，使得点D恰好落在抛物线上，点D′是点D关于直线EC的轴对称点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D′恰好落在
轴上的点（0，6）时，求此时D点的坐标；
（3）直线CD′交对称轴AB于点F,
①当点D′在对称轴AB的左侧时，且△ED′F∽△CDE，求出DE:DC的值；
②连结B D′，是否存在点E，使△E D′B为等腰三角形？若存在，请直接写出BE:BC的值，若不存在请说明理由.
（1）
;（2）(8,10); （3）①
;②
.
【解析】
试题分析：（1）由已知,应用待定系数法设顶点式求解;
（2）根据勾股定理和轴对称的性质列方程组求解;
（3）①由勾股定理和相似三角形的性质列式求解;
②由①可知△ED′F≌△CBF时, D′F=BF,从而得出结论.
试题解析：（1）∵抛物线
的顶点A的坐标为（3,15），
∴可设抛物线的解析式为
.
∵抛物线过点（－2，10）, ∴
.解得
.
∴抛物线的解析式为
,即.
（2）设D(x,ｙ),则E(3, ｙ), DE=x-3, DC=ｙ.
由D′（0，6）,根据勾股定理,得: D′C=
, D′E=
,
根据轴对称的性质,有D′C=DC, D′E= DE,即
,解得
.
∴此时D点的坐标为(8,10).
（3）①易证△ED′F≌△CBF,则D′F=BF.
设D′C=DC=a,D′E=DE=b,D′F=BF=c,
在Rt△CBF中,由勾股定理,得:CF2=BF2+D′C2,即(D′C- D′F)2=BF2+D′C2.
∴
,整理,得
.
∵△ED′F∽△CDE，∴
,即
,即
,即
,即
.
∴DE:DC=
.
②存在,由①可知BE:BC=.
考点：1.动点问题;2.二次函数的性质;3. 勾股定理;4. 轴对称的性质;5.全等和相似三角形的判定和性质.
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应用题点拨系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．| BD |
| AB |
| 5 |
| 8 |
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科目：初中数学 来源： 题型：
（2012•渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是| 5 |
| 29 |
| 5 |
| 29 |
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科目：初中数学 来源： 题型：
如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数y=| k |
| x |
| k |
| x |
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科目：初中数学 来源： 题型：
∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．查看答案和解析>>
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如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为