Question

3．长沙某公司声场的防辐射围裙每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如表：

时间t（天）	1	3	6	10	34	…
日销售量m（件）	94	90	84	76	28	…

未来40天内，前20天每天的价格y₁（元/件）与时间t（天）的函数关系是为y₁=$\frac{1}{4}$t+25（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格为30元/件（21≤t≤40且t为整数），下面我们就来研究销售这种防辐射围裙的有关问题：
（1）认真分析表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件防辐射围裙就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据表格中的中的数据可以判断出m与t的函数关系式，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以分别求出前20天和后20天的最大利润，然后比较即可解答本题；
（3）根据题意可以求得前20天的实际利润，由二次函数的性质可以解答本题．

解答 解：（1）由表格可知，m（件）与t（天）之间的关系式符合一次函数解析式，
设m（件）与t（天）之间的关系式是m=kt+b，
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=94}\\{3k+b=90}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=96}\end{array}\right.$，
∴m（件）与t（天）之间的关系式是m=-2t+96；
（2）设前20天的销售利润为w₁，
w₁=（-2t+96）（$\frac{1}{4}$t+25-20）=$-\frac{1}{2}（t-14）^{2}+578$，
∴当t=14时，w₁取得最大值，此时w₁=578元；
设后20天的销售利润为w₂，
w₂=（-2t+96）（30-20）=-20t+960，
∵-20＜0，w₂随t的增大而减小，21≤t≤40，
∴当t=21时，w₂取得最大值，此时w₂=-20×21+960=540；
∵578＞540，
∴未来40天中第14天的日销售利润最大，最大日销售利润是578元；
（3）由题意可得，
w₁=（-2t+96）（$\frac{1}{4}$t+25-20-a）=$-\frac{1}{2}{t}^{2}+（14+2a）t+480-96a$，
对称轴为t=$-\frac{14+2a}{2×（-\frac{1}{2}）}=14+2a$，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴当t≤14+2a时，w₁随t的增大而增大，
∵前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，
∴19.5＜14+2a，
解得，a＞2.75，
又∵a＜4，
∴2.75＜a＜4，
即a的取值范围2.75＜a＜4．

点评 本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的函数解析式，会求函数的最值．