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如图(1),已知,矩形ABCD的边AD=3,对角线长为5,将矩形ABCD置于直角坐标系内,点C与原点O重合,且反比例函数的图象的一个分支位于第一象限.
①求图(1)中,点A的坐标是多少?
②若矩形ABCD从图(1)的位置开始沿x轴的正方向移动,每秒移动1个单位,1秒后点A刚好落在反比例函数的图象上,如图(2),求反比例函数的表达式.
③矩形ABCD继续向x轴的正方向移动,AB、AD与反比例函数图象分别交于P、Q两点,如图(3),设移动总时间为t(1<t<5),分别写出△PBC的面积S1、△QDC的面积S2与t的函数关系式,并求当t为何值时,S2=
107
S1
分析:①连接OA,根据勾股定理求出OD,故可得出答案;
②求出A的坐标,把A的坐标代入反比例函数的解析式,求出k即可;
③求出BP,根据三角形的面积公式求出S1即可;求出t秒后A的坐标,得出Q的横坐标,代入解析式求出Q的纵坐标,求出CQ,根据三角形的面积公式求出S2,把S1、S2代入得出关于t的方程,求出t的值即可.
解答:解:①连接OA,
∵OA=5,AD=3,
由勾股定理得:OD=
OA2-AD2
=
52-32
=4,
∴点A的坐标是(4,3).

②∵4+1=5,
∴1秒后点A的坐标是(5,3),
代入y=
k
x
得:3=
k
5

∴k=15,
∴反比例函数的解析式为:y=
15
x


③∵A在双曲线上时t=1,
∴AP=t-1,
BP=BA-AP=4-(t-1)=5-t,
∴S1=
1
2
BP×BC=
1
2
×(5-t)×3=-
3
2
t+
15
2

t秒后A的坐标是(4+t,3),
把x=4+t代入y=
15
x
得:y=
15
4+t

∴Q的坐标是(4+t,
15
4+t
),
∴S2=
1
2
×DC×DQ=
1
2
×4×
15
4+t
=
30
4+t

即S1=-
3
2
t+
15
2
,S2=
30
4+t

∵S2=
10
7
S1
30
4+t
=
10
7
×(-
3
2
t+
15
2
),解得:t=3,t=-2(舍去),
∴当t=3时,S2=
10
7
S1
点评:点评:本题考查反比例函数综合题,涉及到点的坐标,三角形的面积,矩形的性质等知识点的应用,熟练的运用性质进行计算是解此题的关键,主要考查了学生的计算能力和运用性质进行推理的能力,题目较好,难度适中.
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