Question

【题目】某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x、月销售量y、月销售利润w（元）的部分对应值如下表：

售价x（元/件）	40	45
月销售量y（件）	300	250
月销售利润w（元）	3000	3750

注：月销售利润＝月销售量×（售价－进价）

（1）①求y关于x的函数表达式；

②当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；

（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过40元/件，该商店在今后的销售中，月销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若月销售最大利润是2400元，则m的值为 ．

Answer 1

【答案】（1）①y＝－10x＋700；②当该商品的售价是50元/件时，月销售利润最大，最大利润是4000元．（2）2.

【解析】

（1）①将点（40，300）、（45，250）代入一次函数表达式：y=kx+b即可求解；

②设该商品的售价是x元，则月销售利润w= y（x－30），求解即可；

（2）根据进价变动后每件的利润变为[x-(m+30)]元，用其乘以月销售量，得到关于x的二次函数，求得对称轴，判断对称轴大于50，由开口向下的二次函数的性质可知，当x=40时w取得最大值2400，解关于m的方程即可．

（1）①解：设y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）

根据题意得：,解得：

∴y＝－10x＋700

②解：当该商品的进价是40－3000÷300＝30元

设当该商品的售价是x元/件时，月销售利润为w元

根据题意得：w＝y（x－30）＝（x－30）（－10x＋700）

＝－10x2＋1000 x－21000＝－10（x－50）2＋4000

∴当x＝50时w有最大值，最大值为4000

答：当该商品的售价是50元/件时，月销售利润最大，最大利润是4000元．

（2）由题意得：
w=[x-(m+30)]（-10x+700）
=-10x2+（1000+10m）x-21000-700m
对称轴为x=50+
∵m＞0
∴50+>50
∵商家规定该运动服售价不得超过40元/件
∴由二次函数的性质，可知当x=40时，月销售量最大利润是2400元
∴-10×402+（1000+10m）×40-21000-700m=2400
解得：m=2
∴m的值为2．