Question

如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC平分∠BCD，BD交AC于点F，过点A作圆的切线AE交CB的延长线于E．求证：①AE∥BD；  ②AD²=DF•AE．

Answer 1

分析：①由AE为圆的切线，利用弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠EAB=∠ACE，再由CA为角平分线得到一对角相等，利用同弧所对的圆周角相等及等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证；
②利用弦切角等于夹弧所对的圆周角得到一对角相等，由AE与BD平行，利用两直线平行同位角相等得到∠AEC=∠DBC，利用同弧所对的圆周角相等得到∠DBC=∠DAC，等量代换得到一对角相等，由两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ABE与三角形ADF相似，由相似得比例，再由CA为角平分线，利用相等的圆周角所对的弧相等，再利用等弧对等弦得到AD=AB，等量代换即可得证．

解答：证明：①∵AE为圆的切线，
∴∠EAB=∠ACE（弦切角等于夹弧所对的圆周角），
∵CA为∠BCD的平分线，
∴∠ACE=∠ACD，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠EAB=∠ABD，
∴AE∥BD；
②∵AE∥BD，
∴∠AEC=∠DBC，
∵∠DBC=∠DAC，
∴∠AEC=∠DAC，
∵∠EAB=∠ADB（弦切角等于夹弧所对的圆周角），
∴△ABE∽△DFA，
∴

AB

DF

=

AE

DA

，
∵∠ACE=∠ACD，
∴

AD

=

AB

，
∴AD=AB，
则AD•AB=AD²=AE•DF．

点评：此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，弦、弧及圆心角之间的关系，平行线的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．