Question

9．如图，一次函数y=kx+3的图象分别交x轴、y轴于点C、点D，与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象在第四象限的相交于点P，并且PAx轴于点A，PB⊥y轴于点B，已知B（0，-6），且S_△DBP=27
（1）求上述一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求一次函数与反比例函数的另一个交点坐标；
（3）求一次函数大于反比例函数的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令一次函数解析式中x=0，求出对应的y值，确定出D的坐标，得到OD的长，再由B的坐标得到OB的长，由OD+OB求出BD的长，在直角三角形BDP中，利用两直角边乘积的一半表示出三角形的面积，将BD及已知的面积代入求出BP的长，确定出P的坐标，由P为一次函数与反比例函数的交点，将P的坐标代入一次函数解析式中求出k的值，确定出一次函数解析式，将P的坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，确定出反比例函数解析式；
（2）将一次函数解析式与反比例函数解析式联立组成方程组，求出方程组的解即可得到两函数的另一个交点；
（3）根据图象得出一次函数大于反比例函数的x的取值范围即可．

解答 解：（1）令一次函数解析式y=kx+3中x=0，解得y=3，
∴D坐标为（0，3），即OD=3，
又∵B（0，-6），即OB=6，
∴BD=OD+OB=3+6=9，
∵S_Rt△BDP=$\frac{1}{2}$BD•BP=$\frac{1}{2}$×9×BP=27，
∴BP=6，
∴P的坐标为（6，-6），
将x=6，y=-6代入一次函数解析式得：-6=6k+3，
解得：k=-$\frac{3}{2}$，
∴一次函数解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+3，
将x=6，y=-6代入反比例解析式得：-6=$\frac{m}{6}$，
解得：m=-36，
∴反比例函数的表达式为y=-$\frac{36}{x}$；

（2）联立两个关系式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{2}x+3}\\{y=-\frac{36}{x}}\end{array}\right.$，
消去y得：-$\frac{3}{2}$x+3=-$\frac{36}{x}$，
整理得：（x-6）（x+4）=0，
解得：x₁=6，x₂=-4，
经检验是原方程的解，
∴y₁=-6，y₂=9，
∴一次函数与反比例函数交点为（6，-6）或（-4，9），
则一次函数与反比例函数的另一交点坐标为（-4，9）；
（3）由一次函数与反比例函数的交点坐标为（-4，9）和（6，-6），可得一次函数大于反比例函数的x的取值范围为：x＜-4或0＜x＜6．

点评 此题考查了一次函数与反比例函数的交点，以及利用待定系数法求函数解析式，其中利用待定系数法确定出两函数解析式是求两函数交点的关键．