已知反比例函数y=kx图象过第二象限内的点A.AB⊥x轴于B.Rt△AOB面积为4.5(1)求反比例函数的解析式．(2)若直线y=mx+n经过点A.并且经过反比例函数y=kx的图象上另一点C.在y轴上是否存在点P使S△ACP=2S△AOC?若存在.求点P的坐标,若不存在.请说明理由．.点C为该双曲线第四象限上一动点.AC交x轴于E.作AF⊥AC交y轴于点F.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知反比例函数y=

图象过第二象限内的点A，AB⊥x轴于B，Rt△AOB面积为4.5
（1）求反比例函数的解析式．
（2）若直线y=mx+n经过点A（-3，a），并且经过反比例函数y=

的图象上另一点C（b，-2），在y轴上是否存在点P使S_△ACP=2S_△AOC？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点A（-3，a），点C为该双曲线第四象限上一动点，AC交x轴于E，作AF⊥AC交y轴于点F，当点C在该分支上运动时，其他条件不变，OE、OF之间是否存在着某种数量关系？若存在，求出这种数量关系；若不存在，请说明理由．

考点：反比例函数综合题,全等三角形的判定与性质

专题：综合题,数形结合

分析：（1）由AB⊥x轴于B，Rt△AOB面积为4.5，可得|k|=9，又由反比例函数图象过二、四象限，即可求得反比例函数的解析式．
（2）首先将A（-3，a），C（b，-2）代入y=-

得：a=3，b=4.5，可求得直线的解析式，又由S_△ACP=2S_△AOC，分别从当P_y＞0时，（P_y-1）×

×（3+4.5）=

与当P_y＜0时，（-P_y+1）×

×（3+4.5）=

去分析求解即可求得答案；
（3）分别从E_x＞0与E_x＜0去分析求解，首先过点A作AM⊥x轴于点M，作AN⊥y轴于点N，易证得△MAE≌△NAF，继而求得答案．

解答：

解：（1）∵AB⊥x轴，Rt△AOB面积为4.5，
∴|k|=9，
∵反比例函数图象过二、四象限，
∴y=-

；

（2）存在．
将A（-3，a），C（b，-2）代入y=-

得：a=3，b=4.5，
∴A（-3，3），C（4.5，-2），
将A（-3，3），C（4.5，-2）代入y=mx+n中，
得：

3=-3m+n

-2=4.5m+n

，
解得：

m=-

n=1

，
∴y=-

x+1，
令x=0，得到y=1，
即E（0，1），
将D（x，0）代入
得：0=-

x+1，即x=

，
∴D（

，0），
∴S_△AOC=S_△AOD+S_△ODC=3×

×2×

，
∴S_△ACP=2S_△AOC=

，
当P_y＞0时，（P_y-1）×

×（3+4.5）=

，
解得：P_y=3，即P₁（0，3）；
当P_y＜0时，（-P_y+1）×

×（3+4.5）=

，
解得：P_y=-1，即P₂（0，-1）；
综上：P（0，3）或（0，-1）；

（3）①E_x＞0，
过点A作AM⊥x轴于点M，作AN⊥y轴于点N，
∵A（-3，3），
∴AM=AN=OM=ON=3，
∵AMO=∠ANO=∠MON=90°，
∴∠MAN=∠CAF=90°，
∴∠MAE+∠EAN=∠EAN+∠NAF，
∴∠MAE=∠NAF，
在△MAE和△NAF中，

∠MAE=∠NAF

∠AME=∠ANF

AM=AN

，
∴△MAE≌△NAF（AAS），
∴EM=NF，
∴OF-OE=ON+NF-（ME-OM）=ON+OM=3+3=6；
②若E_x＜0，
过点A作AM⊥x轴于点M，作AN⊥y轴于点N，
∵A（-3，3），
∴AM=AN=OM=ON=3，
∵∠AMO=∠ANO=∠MON=90°，
∴∠MAN=∠C′AF′90°，
∴∠MAE′+∠E′AN=∠E′AN+∠NAF′，
∴∠MAE′=∠NAF′，
在△MAE′和△NAF′中，

∠MAE′=∠NAF′

∠AME′=∠ANF′

AM=AN

，
∴△MAE′≌△NAF′（AAS），
∴E′M=NF′，
∴OF′+OE′=MO-E′M+NF′+ON=OM+ON=3+3=6．

点评：此题属于反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、全等三角形的判定与性质以及反比例函数的几何意义等知识．此题难度较大，综合性很强，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．

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