Question

【题目】如图，在△ABD中，∠BAD＝80°，C为BD延长线上一点，∠BAC＝130°，∠ABD的角平分线与AC交于点E，连接DE．

（1）求证：点E到DA、DC的距离相等；

（2）求∠BED的度数．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠BED＝40°

【解析】

（1）作辅助线，构建角平分线的距离，根据角平分线的性质和逆定理可得：EF＝EG＝EH，进而解答即可；

（2）设∠DEG＝y，∠GEB＝x，根据三角形的内角和定理可得：∠GEA＝∠FEA＝40°，∠FEB＝∠HEB，列方程为2y+x＝80﹣x，y+x＝40，可得结论：∠DEB＝40°．

证明：（1）过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，

∵BE平分∠ABD，

∴EH＝EF，

∵∠BAC＝130°，

∴∠FAE＝∠CAD＝50°，

∴EF＝EG，

∴EG＝EH，

∴ED平分∠CDG，

∴点E到DA、DC的距离相等；

（2）∵ED平分∠CDG，

∴∠HED＝∠DEG，

设∠DEG＝y，∠GEB＝x，

∵∠EFA＝∠EGA＝90°，

∴∠GEA＝∠FEA＝40°，

∵∠EFB＝∠EHB＝90°，∠EBF＝∠EBH，

∴∠FEB＝∠HEB，

∴2y+x＝80﹣x，

2y+2x＝80，

y+x＝40，

即∠DEB＝40°．