Question

若100a+64和201a+64均为四位数，且均为完全平方数，则整数a的值是________．

Answer 1

17
分析：由于100a+64和201a+64均为完全平方数，可设100a+64=m²①，201a+64=n²②，则m、n均为正整数，又因为它们都是四位数，则1000≤m²＜10000，1000≤n²＜10000，解得m、n的取值范围，再将②-①，得101a=n²-m²=（n+m）（n-m），因为101是质数，且-101＜n-m＜101，所以n+m=101，故a=n-m=2n-101．把a=2n-101代入201a+64=n²，得到关于n的一元二次方程，解方程求出n的值，从而求出符合条件的a值．
解答：设100a+64=m²①，201a+64=n²②，
则m、n均为正整数，且32≤m＜100，32≤n＜100．
②-①，得101a=n²-m²=（n+m）（n-m），
因为101是质数，且0＜n-m＜101，
所以n+m=101，
故a=n-m=2n-101．
把a=2n-101代入201a+64=n²，
整理得n²-402n+20237=0，
解得n=59，或n=343（舍去）．
所以a=2n-101=17．
故答案为17．
点评：本题主要考查了完全平方数的定义，一元一次不等式组的解法，因式分解，一元二次方程的解法等知识，综合性较强，属于竞赛题型，有一定难度．