Question

已知关于x的一元二次方程x²-（k+2）x+2k=0．
（1）若x=1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一根；
（2）对于任意的实数k，判断原方程根的情况，并说明理由．

Answer 1

考点：根的判别式,一元二次方程的解,解一元二次方程-因式分解法

专题：计算题

分析：（1）把x=1代入方程得到关于k的方程，求出k的值，再把k的值代入原方程，然后利用因式分解法解方程求出方程的另一根；
（2）计算判别式得到△=（k+2）²-4×2k=k²-4k+4=（k-2）²，根据非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．

解答：解：（1）∵x=1是方程x²-（k+2）x+2k=0的一个根，
∴1-（k+2）×1+2k=0，
解得k=1，
∴原方程为x²-3x+2=0，
解得x₁=1，x₂=2，
∴原方程的另一根为x=2；

（2）对于任意的实数k，原方程总有两个实数根．理由如下：
∵△=（k+2）²-4×2k=k²-4k+4=（k-2）²≥0，
∴对于任意的实数k，原方程总有两个实数根．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．