精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B点在轴y上.
(1)求m的值及这个二次函数的关系式;
(2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E,设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四形?若存在,请求出此时P点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】分析:(1)因为直线y=x+m过点A,将A点坐标直接代入解析式即可求得m的值;设出二次函数的顶点式,将(3,4)代入即可;
(2)由于P和E的横坐标相同,将P点横坐标代入直线和抛物线解析式,可得其纵坐标表达式,h即为二者之差;根据P、E在二者之间,所以可知x的取值范围是0<x<3;
(3)先假设存在点P,根据四边形DCEP是平行四形的条件进行推理,若能求出P点坐标,则证明存在点P,否则P点不存在.
解答:解:(1)∵点A(3,4)在直线y=x+m上,
∴4=3+m.(1分)
∴m=1.(2分)
设所求二次函数的关系式为y=a(x-1)2.(3分)
∵点A(3,4)在二次函数y=a(x-1)2的图象上,
∴4=a(3-1)2
∴a=1.(4分)
∴所求二次函数的关系式为y=(x-1)2
即y=x2-2x+1.(5分)

(2)设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE
∴PE=h=yP-yE(6分)
=(x+1)-(x2-2x+1)(7分)
=-x2+3x.(8分)
即h=-x2+3x(0<x<3).(9分)

(3)存在.(10分)
解法1:要使四边形DCEP是平行四边形,必需有PE=DC.(11分)
∵点D在直线y=x+1上,
∴点D的坐标为(1,2),
∴-x2+3x=2.
即x2-3x+2=0.(12分)
解之,得x1=2,x2=1(不合题意,舍去)(13分)
∴当P点的坐标为(2,3)时,四边形DCEP是平行四边形.(14分)
解法2:要使四边形DCEP是平行四边形,必需有BP∥CE.(11分)
设直线CE的函数关系式为y=x+b.
∵直线CE经过点C(1,0),
∴0=1+b,
∴b=-1.
∴直线CE的函数关系式为y=x-1.

得x2-3x+2=0.(12分)
解之,得x1=2,x2=1(不合题意,舍去)
∴当P点的坐标为(2,3)时,四边形DCEP是平行四边形.
点评:此题考查了用待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征,结合图形有利于解答;
(3)是一道存在性问题,有一定的开放性,需要先假设点P存在,然后进行验证计算.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B点在轴y上.
(1)求m的值及这个二次函数的关系式;
(2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E,设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形?若存在,请求出此时P点的坐标;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

(2012•高淳县一模)如图,已知二次函数y=-
1
2
x2+mx+3的图象经过点A(-1,
9
2
).
(1)求该二次函数的表达式,并写出该函数图象的顶点坐标;
(2)点P(2a,a)(其中a>0),与点Q均在该函数的图象上,且这两点关于图象的对称轴对称,求a的值及点Q到y轴的距离.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

(2013•江宁区二模)如图,已知二次函数y=ax2+bx+3的图象过点A(-1,0),对称轴为过点(1,0)且与y轴平行的直线.
(1)求该二次函数的关系式;
(2)结合图象,解答下列问题:
①当x取什么值时,该函数的图象在x轴上方?
②当-1<x<2时,求函数y的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知二次函数图象的顶点坐标为M(2,0),直线y=x+2与该二次函数的图象交于A、B两点,其中点A在y轴上,P为线段AB上一动点(除A,B两端点外),过P作x轴的垂线与二次函数的图象交于点Q设线段PQ的长为l,点P的横坐标为x.
(1)求二次函数的解析式;
(2)求l与x之间的函数关系式,并求出l的取值范围;
(3)线段AB上是否存在一点P,使四边形PQMA为梯形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知二次函数y=(x-1)2的图象的顶点为C点,图象与直线y=x+m的图象交于A、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B点在y轴上.
(1)求m的值;
(2)点P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过点P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E,设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形?若存在,请求出此时P点的坐标;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案