Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．
（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；
（2）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少？
（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长．

Answer 1

分析：（1）设出P点坐标，再求出CP的中点坐标，根据相似的性质即可求出D点坐标；
（2）根据D点的坐标及三角形的面积公式直接求解即可；
（3）先判断出可能为直角的角，再根据勾股定理求解；
（4）根据点D的运动路线与OB平行且相等解答即可．

解答：解：（1）∵点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，
∴OP=t，而OC=2，
∴P（t，0），
设CP的中点为F，
则F点的坐标为（

t

2

，1），
∴将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，其坐标为（t+1，

t

2

）；

（2）∵D点坐标为（t+1，

t

2

），OA=4，
∴S_△DPA=

1

2

AP×

t

2

=

1

2

（4-t）×

t

2

=

1

4

（4t-t²）=-

1

4

（t-2）²+1，
∴当t=2时，S_最大=1；

（3）能构成直角三角形．
①当∠PDA=90°时，PC∥AD，

由勾股定理得，PD²+AD²=AP²，
即（

t

2

）²+1+（4-t-1）²+（

t

2

）²=（4-t）²，
解得，t=2或t=-6（舍去）．
∴t=2秒．
②当∠PAD=90°时，此时点D在AB上，

可知，△COP∽△PAD，
∴

CP

PD

=

CO

PA

，
∴

2

1

=

2

PA

，
PA=1，
即t+1=4，t=3秒．
综上，可知当t为2秒或3秒时，△DPA能成为直角三角形．

（4）∵根据点D的运动路线与OB平行且相等，OB=2

5

，
∴点D运动路线的长为2

5

．

点评：此题比较复杂，是动点问题在实际生活中的运用，结合了二次函数、直角三角形的相关性质，具有一定的综合性．